USP – Cálculo 2 – 2019 – P2 – Exercício 11
Seja uma função de classe tal que . Sabendo que exatamente uma das curvas abaixo tem imagem contida na curva de nível de que contém , assinale a alternativa que contém tal curva.
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
Passo 1
Bora resolver mais uma questão de prova da POLI? Essa é sobre vetor normal e curvas de nível!
O exercício fala sobre uma função tal que . Ele quer saber, dentre as curvas apresentadas nas alternativas, qual está contida na curva de nível de que contém .
Sabemos que o vetor gradiente é ortogonal às curvas de níve da função. Assim, se estiver contida na curva de nível de , o vetor deve ser ortogonal ao vetor no ponto em questão.
Assim, devemos ter
sendo que
Passo 2
Para isso temos que testar as alternativas! Vamos começar pela alternativa A:
Derivando cada componente, achamos o vetor tangente:
Para que , temos que
Considerando a primeira volta ):
Assim,
Vamos ver se esse vetor é ortogonal a :
Essa curva é perfeita! A resposta é alternativa A!
Resposta
Alternativa A.