UFF, Sem Campus, Cálculo IIB, P1 - Prof. Jorge Delgado - 2023 - Verão, Questão 3d.
3 – Considere a função .
d) A função é harmônica? Isto é, ?
Passo 1
Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎
Nesse problema, estamos interessados em saber se a função é harmônica.
Tem ideia de como fazer isso? 🤔
No próprio enunciado já foi dada uma dica que diz que se a função é harmônica, . Mas que operador é esse? 👀
Esse operador é chamado de laplaciano e ele é como se fosse um gradiente de segunda ordem, ou seja
Sacou?
Passo 2
Derivando com relação a , temos
Derivando novamente com relação a , temos
Fazendo o mesmo para , vamos obter
Com isso, vemos que o laplaciano de é
Ou seja, é sim uma função harmônica!
Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁
Resposta
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a ) Determine o gradiente de f b ) Calcule o gradiente no ponto P c ) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u . f x , y , z = x + y z P 1,3 , 1 u = 2 7 , 3 7, 6 7
Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:c) z = s e n( 3 x + y ) ; P 0 , π 2
Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:g) f u ,v ,w = u 2 + v 2 - w 2 + u v w ; P 0,1 ,0
Determine a equação da reta tangente à curva de nível dada, no ponto dado. x 2 + x y + y 2 - 3 y = 1 ,e m 1,2
Determine a função f : R 2 → R cujo gráfico passa pelo ponto ( 1,2 , 1 ) e tal que ∇ f x , y = ( 2 x y 3 - 2 x , 3 x 2 y 2 + 2 y - 1 )