UFF – Cálculo IIB – VS – Questão 3
Sem usar o método dos multiplicadores de Lagrange determine os pontos do cone
que estão mais próximos do ponto
Passo 1
Oi, tudo bem? Vou te ajudar a resolver esse problema, vamos lá? O problema deu a equação desse cone aqui
A ideia aqui é usar multiplicadores de Lagrange para minimizar a função distância ao ponto:
Mas essa função está pouco complicada, em vez de usar ela, podemos usar seu quadrado! O resultado serão os mesmos pontos!
Assim, precisamos minimizar a função
No ponto dado! E qual a restrição? Esses pontos próximos precisam estar sobre o cone! O cone é nossa restrição!
Tranquilo?
Partiu começar?
Passo 2
Vamos achar os pontos críticos da função quadrado da distância do ponto até o ponto
Essa função só é zero quando
Tudo bem até aqui?
E é nosso único ponto crítico!
Passo 3
Então vamos verificar se é ponto de mínimo: hessiana de !
Aí temos:
E , portanto é um mínimo global!
Passo 4
Nosso passo final é encontrar qual é esse ponto sobre a superfície do cone!
Assim os pontos mais próximos de e que pertencem ao cone são
Belezinha? É isso!
Até a próxima!