Prova Cálculo 2 MAT1162 P2
Considere a função
(a) Calcule e explique as suas discrepâncias geométricas.
(b) Encontre a taxa máxima de variação da função no ponto . Determine a direção em que essa taxa máxima de variação ocorre.
(c) Encontre a equação do plano tangente ao gráfico de no ponto .
(d) Encontre a linearização de em , use-a para calcular aproximadamente e explique por que é possível usar a sua linearização para aproximar .
Passo 1
Aqui temos um problema para aplicarmos a ideia de derivadas parciais, e consequentemente, estaremos lidando com a ideia de gradiente.
Tome que é dito gradiente de uma função, na qual o operador é descrito por
Quando estamos lidando com uma função for descrita por coordernadas.
Assim temos que para nosso problema, teremos que o gradiente da nossa função poderá ser escrito como
Na qual dizemos que a taxa de crescimento do nosso campo vetorial é dado pela norma do gradiente.
Passo 2
(a) O primeiro item, o problema nos pede para calcular as derivadas parciais de nossa e aplica-la no ponto , assim tome que
Assim tome que
então
e
Ou seja, temos que
Logo teremos que
Passo 3
(b) A taxa máxima de variação será da pela norma do nosso gradiente. Assim como vimos pelo item anterior, temos que
E consequentemente
Logo pela norma do nosso gradiente, temos que
Ou seja, a maior taxa de crescimento dessa direção, é dada por .
Passo 4
(c) Temos que a equação do plano tangente à superfície no ponto é dada por
Assim como visto no passo 2, temos que
Logo nossa equação do plano tangente que passa pelo ponto pode ser escrita como
Com nossa equação do plano resumida em
Passo 5
(d) Dada uma curva qualquer, dizemos que, em pontos muito próximos ao nosso ponto que estamos trabalhamos, existe uma reta que descreve razoavelmente bem todos os pontos nesse intervalo minúsculo.
Essa reta pode ser descrita como
Para o caso bidimensional.
Assim teremos que para , temos
Logo pelo passo 1 e seus resultados
Assim tome o seguinte: próximo ao nosso ponto , o nosso plano tangente descreve razoavelmente bem a nossa função . Assim fizemos que
Logo queremos saber o valor da nossa função no ponto (2.01, 0.9). Assim tome que
Resposta
- e
- e