Considere as superfícies

S₁ = {x, y, z ∈ R³ | 4 * (y - 2)² + 3 * (z - 1)² = 4}

S₂ = {x, y, z ∈ R³ | x³ + y² + x³ - 3yz - z⁴ = 3}

Explicite as coordenadas de vetores normais não-nulos N₁(x, y, z) e N2(x, y, z) às superfícies S1 e S2 , respectivamente.

Passo 1

Vamos começar pela superfície S 1 .

Para acharmos um vetor normal temos que, primeiro, achar a função F 1 x , y , z , que é a função da superfície S 1 jogando todas as variáveis para esquerda.

F 1 x , y , z = 4 y - 2 2 + 3 z - 1 2 - 4

O vetor normal vai ser o gradiente dessa nova função F 1 x , y , z

Passo 2

O gradiente vai ser

∇ F 1 = F 1 x , F 1 y , F 1 z

F 1 x = 0

F 1 y = 4.2 y - 2 = 8 y - 16

F 1 z = 3.2 z - 1 = 6 z - 6

O vetor normal vai ser

N 1 = 0   ,   8 y - 16   ,   6 z - 6

Passo 3

Vamos para a superfície S 2 .

Para acharmos um vetor normal temos que, primeiro, que achar a função F 2 x , y , z , que é a função da superfície S 2 jogando todas as variáveis para esquerda.

F 2 x , y , z = x 3 y 2 + x 3 - 3 y z - z 4 - 3

O vetor normal vai ser o gradiente dessa nova função F 2 x , y , z

Passo 4

O gradiente vai ser

∇ F 2 = F 2 x , F 2 y , F 2 z

F 2 x = 3 x 2 y 2 + 3 x 2

F 2 y = 2 x 3 y - 3 z

F 2 z = - 3 y - 4 z 3

O vetor normal vai ser

N 2 = 3 x 2 y 2 + 3 x 2 , 2 x 3 y - 3 z , - 3 y - 4 z 3

Resposta

N 1 = 0   ,   8 y - 16     ,   6 z - 6

N 2 = 3 x 2 y 2 + 3 x 2   ,   2 x 3 y - 3 z   ,   - 3 y - 4 z 3

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