7. As curvas definidas a seguir se interceptam no ponto , formando um ângulo de rad.
e
a) Encontre um valor possível para . Quantas soluções tem esse problema?
b) Resolva o mesmo problema supondo que o ângulo é rad.
Sugestão: Nos dois casos encontre um vetor perpendicular a curva em , um vetor tangente a curva em e use a fórmula do ângulo entre esses vetores,
Passo 1
a)
Vamos começar encontrando um vetor normal a curva em . Podemos encontra-lo calculando o gradiente da função: .
No ponto temos:
Como estamos interessados apenas na direção e sentido desse vetor, podemos adotar pois temo a mesma direção e sentido de
Passo 2
Queremos encontrar um vetor tangente a curva no ponto . Podemos parametrizar essa curva. Fica assim:
Então, um vetor tangente a curva será:
No ponto temos:
Passo 3
Agora repare o seguinte: As curvas formavam um ângulo de . Encontramos um vetor normal a curva e um vetor tangente a curva . Portanto, esses vetores ou formam um ângulo de 180° entre si ou formam 0°.
Veja o sinal da primeira componente dos vetores e , eles coincidem. Logo a única possibilidade é que eles formam um ângulo de 0°.
Usando a fórmula , vamos ter:
Resolvendo encontramos apenas uma solução:
Passo 4
b) Agora repare o seguinte: As curvas formavam um ângulo de . Encontramos um vetor normal a curva e um vetor tangente a curva . Portanto, esses vetores ou formam um ângulo de 120° entre si ou formam 60°.
Veja o sinal da primeira componente dos vetores e , eles coincidem. Logo a única possibilidade é que eles formam um ângulo de 60°.
Usando a fórmula , vamos ter:
Resolvendo encontramos duas soluções:
Resposta
a) Uma solução:
b) Duas soluções: e