Considere a superfície de equação . Se o vetor é tangente a em , então:

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

Vamos primeiro deixar a equação da superfície bonitinha, jogando tudo pra um lado e deixando 0 do outro:

Agora podemos definir

Assim, a equação de é:

Show! Mas pra que fizemos isso?

Bem, a gente já tem um vetor tangente a no ponto , certo? Outro vetor que pode ser interessante é o vetor normal a nesse ponto. E vetor normal a gente sabe que tem a ver com o gradiente. Justamente, nessa superfície, nesse ponto, o vetor normal vai ser nada mais que ! E o vetor tangente e o vetor normal são perpendiculares, ou seja:

E pelas propriedades do produto escalar:

E essa é a chave pra resolver a questão!