UERJ, Sem Campus, Cálculo II, P1 - 2023.1, Questão 4c
Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico V seja dado por
c) Qual a taxa máxima de variação em P (−1, −1, 1)?
Passo 1
Eaew, belezinha?
A questão define uma função escalar que, para cada ponto do espaço tridimensional com coordenadas (x, y, z) nos retorna o potencial elétrico. Sendo assim, podemos calcular a variação dessa função através do vetor gradiente, definido como:
Esse vetor, em cada ponto do espaço, nos aponta a direção espacial de maior variação da função V(x,y,z) no ponto em questão. Como o enunciado quer que a gente calcule a taxa máxima de variação em P(-1, -1, 1) e, como a direção de maior variação é a direção do próprio vetor gradiente, para calcular a taxa máxima de variação só precisamos calcular a projeção do gradiente ao longo da direção definida por ele: em outras palavras, o produto escalar do gradiente com um vetor unitário que aponte na mesma direção dele!
Para determinar o gradiente no ponto (-1, -1, 1), precisaremos calcular as derivadas parciais. Então, primeiro, vamos derivar o potencial!
Passo 2
Calculando a derivada de V(x,y,z) em relação à x, considerando y e z como constantes e utilizando a regra da cadeia, obtemos
No ponto (-1, -1, 1), essa derivada assume o valor . Agora, calculando a derivada de V em relação à y, considerando dessa vez x e z como constantes, obtemos:
No ponto (-1, -1, 1), a derivada em relação à y assume o mesmo valor acima: . Agora, só precisamos derivar em relação à z: Como x e y são constantes durante essa derivação, e como a derivada da exponencial é ela mesma, temos que a derivada é igual à própria função:
No ponto (-1, -1, 1), essa derivada assume o valor . Então, no ponto (-1, -1, 1), o vetor gradiente é descrito pelas componentes
Como o vetor gradiente é o vetor que dá a direção de maior variação da função, temos que, no ponto (-1, -1, 1), a direção de maior variação do potencial é na direção do vetor .
Agora, para calcular a variação máxima, vamos precisar fazer o produto escalar do gradiente com um vetor unitário. Bora lá então.
Passo 3
Podemos definir um vetor u que tenha a mesma direção do gradiente, mas que seja unitário. Como o módulo do gradiente é dado por
Podemos definir o vetor unitário u como tendo as componentes do gradiente divididas pelo valor acima
Então, fazendo o produto interno de com u, obtemos a variação máxima, dada por