Considere a curva γ t = α t ,   β t ,   com γ 0 = 1,2 , e a função f x , y = x 3 y 3 - x y . Suponha que γ ' 0 ≠ ( 0,0 ) e que f   ∘ γ t = 6 para todo t ∈ D γ . Determine:

a ) O gradiente de f em ( 1,2 ) .

Passo 1

E aí gente, tudo tranquilo com vocês?

Nessa questão recebemos uma função de duas variáveis dada por:

f x , y = x 3 y 3 - x y

Como também uma curva já parametrizada dada por:

γ t = α t ,   β t

Nesse item precisamos calcular o gradiente de f no ponto ( 1,2 ) . Ou seja:

∇ f ( 1,2 )

onde o gradiente de f é dado por:

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

Show de bola! Então vamos calcular essas derivadas parciais, e depois aplicar o resultado em ( 1,2 ) para encontrar o gradiente de f nesse ponto.

Passo 2

Bom, temos que:

f x , y = x 3 y 3 - x y

Para calcular a derivada parcial em relação a x , tratamos y como uma constante. Assim:

∂ f ∂ x = ∂ x 3 y 3 - x y ∂ x

Lembrando que a regra de derivação de polinômios é:

d x n d x = n ⋅ x n - 1

Temos:

∂ f ∂ x = 3 x 2 y 3 - y

Massa! Já pra derivada parcial com relação a y , vamos ter:

∂ f ∂ y = ∂ x 3 y 3 - x y ∂ y

= 3 y 2 x 3 - x

Logo, temos que:

∇ f = ( 3 x 2 y 3 - y , 3 y 2 x 3 - x )

Mas, o enunciado nos pede para determinar o gradiente de f em ( 1,2 ) . Assim, vamos ter:

∇ f 1,2 = 3 ⋅ 1 ⋅ 2 3 - 2 ,   3 ⋅ 2 2 ⋅ 1 3 - 1

= ( 22,11 )

Portanto:

∇ f 1,2 = ( 22 ,   11 )

Prontinho pessoal! Com isso finalizamos esse item!

Entenderam direitinho? Responde Aí!

Resposta

∇ f 1,2 = ( 22 ,   11 )

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a ) Determine o gradiente de f b ) Calcule o gradiente no ponto P c ) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u .
Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:c) z = s e n( 3 x + y ) ; P 0 , π 2
Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:g) f u ,v ,w = u 2 + v 2 - w 2 + u v w ; P 0,1 ,0
Determine a equação da reta tangente à curva de nível dada, no ponto dado. x 2 + x y + y 2 - 3 y = 1 ,e m 1,2
Determine a função f : R 2 → R cujo gráfico passa pelo ponto ( 1,2 , 1 ) e tal que ∇ f x , y = ( 2 x y 3 - 2 x , 3 x 2 y 2 + 2 y - 1 )