No exercício anterior, calcule o gradiente nos seguintes pontos abaixo.

a) P(2, 1)

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar o vetor gradiente no ponto P , que nada mais é do que o vetor normal à superfície de nível da função naquele ponto.

Pra calcular o vetor gradiente, tudo que a gente precisa fazer é calcular as derivadas parcias da função e coloca-las num vetor. Assim, vamos ter a derivada parcial em relação a x na componente x e a derivada parcial em relação a y na componente y , ou seja:

∇ f x ,   y = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

Mas como ele quer o gradiente no ponto, basta substituir o ponto que ele deu em ∇ f x ,   y .

Vamos lá!

Passo 2

Para f x ,   y = x y , vamos calcular a derivada parcial em relação a x (tratando y como constante):

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x x y = 1 y

Calculando a derivada parcial em relação a y (tratando x como constante), temos:

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y x y

= x ∂ ∂ y 1 y = - x y 2

Agora basta juntar tudo no vetor gradiente:

∇ f x ,   y = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

∇ f x ,   y = 1 y ,   - x y 2

E, finalmente, encontramos o vetor gradiente no ponto dado, substituindo x ,   y = ( 2 ,   1 ) :

∇ f 2 ,   1 = 1 1 ,   - 2 ( 1 ) 2

∇ f 2 ,   1 = 1 ,   - 2

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

∇ f 2 ,   1 = 1 ,   - 2

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