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Exercícios Resolvidos de Vetor Gradiente

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Enunciado

UFPA, Sem Campus, Cálculo II, Listas de Cálculo 1 - Profº Tiago Coelho - Lista de Exercícios 5, Questão 1a

Questão 1. Calcule as derivadas parciais pela definição, o vetor gradiente, e encontre f x 1 , 3 e f y 1,3 para cada uma das funções:

a) f x , y = 4 x 2 - 2 x y + 3 .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema queremos obter as derivadas parciais, o vetor gradiente e as derivadas parciais no ponto 1,3 da função f x , y = 4 x 2 - 2 x y + 3 .

Bastante coisa, não é? 😁

Pela definição, as derivadas parciais de uma função são dadas por

∂ f ∂ x = lim h → 0 ⁡ f x + h , y - f x , y h

∂ f ∂ y = lim h → 0 ⁡ f x , y + h - f x , y h

A partir daí podemos obter o gradiente de f como

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

E por último, substituímos o ponto 1,3 nas derivadas que obtemos.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Vamos começar calculando as derivadas parciais pela definição...

Em x , temos

∂ f ∂ x = lim h → 0 ⁡ f x + h , y - f x , y h = lim h → 0 ⁡ 4 x + h 2 - 2 x + h y + 3 - 4 x 2 - 2 x y + 3 h

∂ f ∂ x = lim h → 0 ⁡ 4 x 2 + 8 h x + 4 h 2 - 2 x y - 2 h y + 3 - 4 x 2 + 2 x y - 3 h

∂ f ∂ x = lim h → 0 ⁡ 8 h x + 4 h 2 - 2 h y h

Colocando h em evidência e simplificando com o denominador

∂ f ∂ x = lim h → 0 ⁡ h 8 x + 4 h - 2 y h = lim h → 0 ⁡ 8 x + 4 h - 2 y

E finalmente fazendo h = 0

∂ f ∂ x = 8 x - 2 y

Agora fazendo o mesmo para y

∂ f ∂ y = lim h → 0 ⁡ f x , y + h - f x , y h = lim h → 0 ⁡ 4 x 2 - 2 x y + h + 3 - 4 x 2 - 2 x y + 3 h

∂ f ∂ y = lim h → 0 ⁡ 4 x 2 - 2 x y - 2 h x + 3 - 4 x 2 + 2 x y - 3 h

∂ f ∂ y = lim h → 0 ⁡ - 2 h x h

Simplificando, temos

∂ f ∂ y = - 2 x

Tranquilo até aqui? 😊

Passo 3

Agora vamos obter o vetor gradiente da função f sabendo que ele é formado pelas derivadas parciais de f , ou seja

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

∇ f = 8 x - 2 y , - 2 x

E por fim, aplicamos o ponto 1,3 nas derivadas parciais

∂ f 1,3 ∂ x = 8 1 - 2 3 → ∂ f 1,3 ∂ x = 2

∂ f 1,3 ∂ y = - 2 1 → ∂ f 1,3 ∂ y = - 2

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

∂ f ∂ x = 8 x - 2 y

∂ f ∂ y = - 2 x

∇ f = 8 x - 2 y , - 2 x

∂ f 1,3 ∂ x = 2

∂ f 1,3 ∂ y = - 2

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