Suponha que T x , y = 4 x 2 + 9 y 2 representa o valor da temperatura em ° C sobre os pontos do plano x y .

  1. Se P é um ponto da curva α t = e 8 t ,   2 e 18 t ,   t ≥ 0 , qual o ângulo entre o vetor tangente a α em t e o vetor gradiente ∇ T α t ?

Passo 1

  1. Vamos começar encontrando o vetor tangente a α t :

α ' t = 8 e 8 t , 36 e 18 t

Passo 2

Encontrando o gradiente de T x , y :

∇ T x , y = 8 x , 18 y

Porém:

∇ T α t = ∇ T e 8 t , 2 e 18 t = 8 e 8 t , 36 e 18 t

Passo 3

Então, para calcular o ângulo entre os vetores vamos usar:

cos ⁡ θ = . α ' t . ∇ T α t α ' t ∇ T α t

Substituindo:

cos ⁡ θ = 8 e 8 t , 36 e 18 t 8 e 8 t , 36 e 18 t 8 e 8 t 2 + 36 e 18 t 2 .   8 e 8 t 2 + 36 e 18 t 2 = 8 e 8 t 2 + 36 e 18 t 2 8 e 8 t 2 + 36 e 18 t 2 = 1

Logo, θ = 0 °

Resposta

c) θ = 0 °

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a) Determine o gradiente de f b Calcule o gradiente no ponto P c) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u .f(x, y, z) = raiz(x + y * z) P(1,3, 1) u = 〈 2 / 7, 3 / 7, 6 / 7 〉
Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:c) z = s e n( 3 x + y ) ; P 0 , π 2
Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:g) f(u, v, w) = u^2 + v^2 - w^2 + u*v*w; P(0,1,0)
Determine a equação da reta tangente à curva de nível dada, no ponto dado.x^2 + xy + y^2 - 3y = 1, e m 1,2
Seja F(x, y) = - (y / (x^2 + y^2)) i + (x / (x^2 + y^2)) j , (x, y) ≠ (0, 0) .c) F → é conservativo ? Por quê ?