O potencial numa lâmina plana é dado por V(x, y) = 80 - 20x * e^((-x^2 + y^2) / 20) em volts.

b) Determine a direção e a taxa na qual o potencial eleva-se mais rapidamente no ponto (1,2).

Passo 1

O problema nos pede para dizer a direção e a taxa na qual o potencial cresce mais rapidamente. Ora, em qualquer função o vetor gradiente aponta na direção de maior crescimento da função! Então é ele que a gente precisa calcular. Vamos calcular o gradiente desse cara aqui

f x , y = V x ,   y = 80 - 20 x e - x 2 + y 2 20    

Lembrando que o vetor gradiente é um vetor que tem como componentes as derivadas parciais da função

∇ f x , y = f x ,   f y

Precisamos calcular essas derivadas parciais. Temos então

f x x , y =   - 20   e - x 2 + y 2 20 + 2   x 2 e - x 2 + y 2 20

f y x , y =   - 2   x y   e - x 2 + y 2 20

Vamos calcular agora essas derivadas no ponto P 0 = ( 1,2 )

f x 1,1 =   - 20   e - 1 + 2 2 20 + 2   e - 1 + 2 2 20 =   - 18   e 3 20

f y 1,1 =   - 2.1 . 2   e - 1 + 2 2 20 =   - 4   e 3 20

Então temos

∇ f P 0 = - 18   e 3 20 ,   - 4   e 3 20

Passo 2

Quando nos pedem a direção de algum vetor, normalmente estamos falando do vetor unitário associado àquele vetor. O vetor associado à direção de maior crescimento a gente calculou como

u = ∇ f P 0 = - 18   e 3 20 ,   - 4   e 3 20

Para a gente calcular o vetor unitário associado a esse vetor, precisamos calcular seu módulo u e usar a expressão

û = u u

O módulo do nosso vetor é

u = - 18   e 3 20 2 + - 4     e 3 20 2       u = e 6 20 324 + 16   u = 2 e 3 20 85  

Agora a gente pode calcular o vetor unitário como

û = u u

û = - 18   e 3 20 ,   - 4   e 3 20 2 e 3 20 85  

û =   -   9 85 ,   -   4 85

Passo 3

A taxa máxima que o exercício nos pede é simplesmente o módulo do vetor gradiente

∇ f P 0 = - 18   e 3 20 2 + - 4     e 3 20 2       ∇ f P 0 =   e 6 20 324 + 16 ∇ f P 0 =   2 e 3 20 85

Resposta

û =   -   9 85 ,   -   4 85

∇ f P 0 =   2 e 3 20 85

Exercícios de Livros Relacionados