P2 – Cálculo Diferencial e Integral 2 – 2021.2 – Profª Cláudia Brunosi Medeiros
O potencial numa lâmina plana é dado por em volts.
b) Determine a direção e a taxa na qual o potencial eleva-se mais rapidamente no ponto (1,2).
Passo 1
O problema nos pede para dizer a direção e a taxa na qual o potencial cresce mais rapidamente. Ora, em qualquer função o vetor gradiente aponta na direção de maior crescimento da função! Então é ele que a gente precisa calcular. Vamos calcular o gradiente desse cara aqui
Lembrando que o vetor gradiente é um vetor que tem como componentes as derivadas parciais da função
Precisamos calcular essas derivadas parciais. Temos então
Vamos calcular agora essas derivadas no ponto
Então temos
Passo 2
Quando nos pedem a direção de algum vetor, normalmente estamos falando do vetor unitário associado àquele vetor. O vetor associado à direção de maior crescimento a gente calculou como
Para a gente calcular o vetor unitário associado a esse vetor, precisamos calcular seu módulo e usar a expressão
O módulo do nosso vetor é
Agora a gente pode calcular o vetor unitário como
Passo 3
A taxa máxima que o exercício nos pede é simplesmente o módulo do vetor gradiente