No exercício anterior, calcule o gradiente nos seguintes pontos abaixo.

d) P(0, 1, -1)

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar o vetor gradiente no ponto P , que nada mais é do que o vetor normal à superfície de nível da função naquele ponto.

Pra calcular o vetor gradiente, tudo que a gente precisa fazer é calcular as derivadas parcias da função e coloca-las num vetor. Assim, vamos ter a derivada parcial em relação a x na componente x , a derivada parcial em relação a y na componente y e a derivada parcial em relação a z na componente z do vetor. Ou seja:

∇ f x ,   y ,   z = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y ,   ∂ f ∂ z

Mas como ele quer o gradiente no ponto, basta substituir o ponto que ele deu em ∇ f x ,   y ,   z .

Vamos lá!

Passo 2

Para f x ,   y ,   z = y 2 e x y z , vamos calcular a derivada parcial em relação a x (tratando y e z como constantes):

Usando a regra da Cadeia, temos:

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x y 2 e x y z = y 2 y z e x y z

= y 3 z e x y z

Agora vamos calcular a derivada parcial em relação a y (tratando x e z como constantes), usando a regra do produto para derivadas:

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y y 2 e x y z

= 2 y e x y z + x z e x y z y 2 = 2 y e x y z + x y 2 z e x y z

E, por último, a derivada parcial em relação a z (tratando x e y como constantes), temos:

∂ f ∂ z = ∂ ∂ z y 2 e x y z

= y 2 x y e x y z = x y 3 e x y z

Agora basta juntar tudo no vetor gradiente:

∇ f x ,   y ,   z = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y ,   ∂ f ∂ z

∇ f x ,   y ,   z = y 3 z e x y z ,   2 y e x y z + x y 2 z e x y z , x y 3 e x y z  

E, finalmente, encontramos o vetor gradiente no ponto dado, substituindo x ,   y ,   z = ( 0 ,   1 ,   - 1 ) :

∇ f ( 0 ,   1 ,   - 1 ) = 1 3 ( - 1 ) e 0 1 - 1 ,   2 ( 1 ) e 0 1 - 1 + ( 0 ) 1 2 ( - 1 ) e 0 1 - 1 , ( 0 ) ( 1 ) 3 e ( 0 ) ( 1 ) ( - 1 )

Repare que e ( 0 ) ( 1 ) ( - 1 ) = e 0 = 1 . Assim, temos:

∇ f ( 0 ,   1 ,   - 1 ) = ( - 1 ,   2 ,   0 )

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

∇ f ( 0 ,   1 ,   - 1 ) = ( - 1 ,   2 ,   0 )

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