USP – Sem Campus – Cálculo 2 – Provas Antigas – P2 – N3 – 2021.2 – Questão 2
A temperatura é medido em graus em qualquer ponto da placa retangular situado no plano e . A distância é medida em metros. Assinale a alternativa correta que determine a taxa de variação máxima no ponto e a direção e sentido em que a taxa de variação é máxima em .
a taxa de variação correspondente a e a taxa máxima de ocorre na direção e sentido do
a taxa de variação correspondente a e a taxa máxima de ocorre na direção e sentido do
a taxa de variação correspondente a e a taxa máxima de ocorre na direção e sentido da derivada direcional
a taxa de variação correspondente a e a taxa máxima de ocorre na direção e sentido do
Passo 1
Eaew, belezinha?
Saca só, o enunciado nos dá uma distribuição da temperatura sobre uma placa colocada sobre o plano , a distribuição da temperatura é tal que . Ele pede a taxa de variação máxima e a direção na qual ela ocorre. Para obter ambas informações precisamos calcular o seguinte
Que é o vetor gradiente, e cuja direção indica a direção de maior crescimento. E com o seu módulo, temos a taxa de variação máxima, calculada como
Note que aqui está tudo em termos das variáveis , mas, queremos avaliar no ponto específico . Vamos fazer isso agora com calma! Vem comigo!
Passo 2
Usando que , temos que
E, agora calculando a componente
E o nosso vetor gradiente é da forma
E no ponto desejado temos . Ou seja, só mudando a notação, temos que o nosso vetor gradiente tem direção . Agora é só calcular o seu módulo!
Passo 3
Para o módulo, temos
Somando e tirando a raiz, temos que
Ou seja, a direção de maior crescimento é e a taxa máxima de variação é , como indicado na alternativa Portanto, temos que as afirmações são VFFF! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta
VFFF