Origem do Exercício
Considere uma distribuição de temperatura em uma região do espaço. Uma partícula localziada em precisa esquentar rapidamente. Outra partícula precisa resfriar-se o mais rápido possível. Qual é a taxa máxima de descrescimento da temperatura em .
Passo 1
Sempre que você ouvir o termo “taxa máxima”, seja de descrecimento ou de crescimento, pense imediatamente no vetor gradiente, pois é pra isso que ele serve!
O vetor gradiente de um campo escalar te dá a direção em que o valor do campo auemnta mais rapidamente! E o módulo desse gradiente te dá a taxa com que essa mudança ocorre.
Então vamos nos lembrar da fórmula para o vetor gradiente:
Precisamos calcular três derivadas parciais!
Passo 2
Começamos pela derivada em relação a :
E agora em relação a :
E, por último, em relação a :
Ou seja, o vetor gradiente é:
Passo 3
Nessa questão, queremos saber a taxa máxima de Decrescimento do campo no ponto .
Como o módulo do vetor gradiente é a taxa máxima de crescimento, o negativo desse módulo será a taxa mínima de crescimento. Essa taxa correponde a um “passo” na direção oposta àquela em que o vetor aponta!
O vetor gradiente no ponto é:
E o módulo desse vetor é:
Ou seja, a taxa mínima de crescimento é , o que equivale a dizer que a taxa máxima de decrescimento é .
Obs.: Se isso ficar confuso, pense que não faz sentido a taxa de decrescimento ser negativa quando a função está “decrescendo”.
Resposta
A taxa máxima de decrescimento em é .