Considere a função dada por . Considere a curva de nível de que passa pelo ponto : esta curva tem equação (onde ).

(a) Encontre o valor de .

(b) Escreva uma parametrização para a curva de nível indicando o domínio de .

(c) Escreva um vetor não nulo tangente ao traço de no ponto e um vetor não nulo normal ao traço de no ponto .

(b) Queremos parametrizar a curva de nível . Vamos ter:

Isso tá com muita cara de uma equação de elipse, do tipo . Então vamos dar uma ajeitada pra cair em algo assim, pode ser?

Dividindo tudo por :

O que dá:

Portanto, a curva de nível é mesmo uma elipse.

Beleza, e agora? Bem, agora temos que parametrizar essa elipse! A dica é sempre buscar algo do tipo pra gente usufruir da relação .

Então vamos fazer isso! Digamos:

Assim:

Então devemos ter:

E:

Atenção! Existem infinitas parametrizações possíveis pra uma mesma curva! Estamos apenas escolhendo uma. Por exemplo, poderíamos ter .

Enfim, conseguimos achar nossa parametrização da curva de nível :

A questão ainda pede pra especificar o domínio de . Como as funções cosseno e seno tem período , devemos escolher um intervalo de tamanho , como .

(c) Queremos uma reta tangente e uma reta normal ao traço de , ou seja, ao gráfico de , no ponto . Mas o gradiente de uma função em um ponto é sempre ortogonal ao gráfico dessa função nesse ponto, correto? Então vamos começar calculando o gradiente da no ponto !

Pela regra da cadeia, temos:

Show! Agora vamos calcular a outra derivada parcial:

Beleza, então no ponto o gradiente vai ser:

E como já vimos antes, o próprio gradiente de em já é um vetor normal ao traço de no ponto . Então pra achar um vetor tangente, basta pegar um vetor normal ao gradiente!

Portanto, qualquer vetor cujo produto escalar com dê serve. Vejamos:

Temos infinitas possibilidades, então podemos escolher alguma simples que pareça mais evidente, vamos fazer o produto escalar

Então podemos pegar qualquer e com essa relação como . De fato, vamos ter:

Logo, o vetor é um vetor tangente ao traço de no ponto .