25 Encontre o vetor gradiente de cada uma das funções:

(c) f(x, y) = e^(x^2 - y^2)

Passo 1

Iae! Como vai, meu querido? 😁 Bora aprender mais uma questão? 😉

Nesse problema, nosso objetivo é obter o vetor gradiente da função f x , y = e x 2 - y 2 .

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

O vetor gradiente de uma função é obtido a partir das suas derivadas parciais, ou seja

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

Sacou? Bora lá! 😉

Passo 2

Primeiro vamos calcular a derivada parcial de f em função de x

∂ f ∂ x = ∂ e x 2 - y 2 ∂ x

Nesse caso, f é uma função composta, então para o cálculo da sua derivada, temos que aplicar a regra da cadeia.

∂ f ∂ x = ∂ x 2 - y 2 ∂ x ∂ e u ∂ u

∂ f ∂ x = 2 x e u

∂ f ∂ x = 2 x e u

Voltando u para x 2 - y 2 ...

∂ f ∂ x = 2 x e x 2 - y 2

Para y agora, temos

∂ f ∂ y = ∂ e x 2 - y 2 ∂ y = ∂ x 2 - y 2 ∂ y ∂ e u ∂ u

∂ f ∂ y = - 2 y e u

∂ f ∂ y = - 2 y e u

Substituindo u

∂ f ∂ y = - 2 y e x 2 - y 2

Substituindo ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y no vetor gradiente, chegamos em

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

∇ f = 2 x e x 2 - y 2 , - 2 y e x 2 - y 2

Pegou o esquema? Responde Aí! 😁

Resposta

∇ f = 2 x e x 2 - y 2 , - 2 y e x 2 - y 2

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a) Determine o gradiente de f b Calcule o gradiente no ponto P c) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u .f(x, y, z) = raiz(x + y * z) P(1,3, 1) u = 〈 2 / 7, 3 / 7, 6 / 7 〉
Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:c) z = s e n( 3 x + y ) ; P 0 , π 2
Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:g) f(u, v, w) = u^2 + v^2 - w^2 + u*v*w; P(0,1,0)
Determine a equação da reta tangente à curva de nível dada, no ponto dado.x^2 + xy + y^2 - 3y = 1, e m 1,2
Seja F(x, y) = - (y / (x^2 + y^2)) i + (x / (x^2 + y^2)) j , (x, y) ≠ (0, 0) .c) F → é conservativo ? Por quê ?