UERJ, Sem Campus, Cálculo II, Provas de Cálculo 2 - Profº Filipe Iorio - 1ª Prova, Questão 5
5) A temperatura, em Kelvin, de certo ambiente é modelada pela função .
(I) Considerando direções unitárias, qual é a maior taxa de resfriamento, ou seja, a taxa de variação mais negativa da temperatura no ponto ?
(II) Uma andorinha move-se na trajetória , onde denota tempo. Qual é a taxa de variação de temperatura sentida pela andorinha quando ela passa pelo ponto ? Dica: Utilize a tangente de no ponto .
(III) O valor encontrado no item (II) é menor (mais negativo) que o encontrado no item (I). Porque isso não contradiz o da taxa de variação no item (I) ser a de maior resfriamento?
Passo 1
Como vai meu consagrado? 😁 Bora aprender como resolver essa questão? 😉
Temos um espaço cuja temperatura é dada pela equação .
A partir disso, queremos saber qual é a maior taxa de mudança de temperatura no ponto , dada uma andorinha voando nesse espaço seguindo a trajetória temos que obter qual é a taxa de variação de temperatura sentida pela andorinha quando ela passa pelo ponto e por fim comparar os dois valores obtidos.
Bastante coisa né? 🤔
Passo 2
Primeiramente, para obter a maior taxa de variação de uma função, temos que obter o gradiente dessa função e aplicar o ponto , assim, obtendo o modulo desse vetor, obtemos a maior taxa de variação da temperatura.
No segundo caso, temos que relacionar a função com a função fazendo e obtendo a taxa de variação de em função de .
E depois comparar esses valores e verificar se faz sentido esses resultados.
Tranquilo até aqui? 😁
Passo 3
Começando pelo gradiente de , temos
Pela regra da cadeia, temos
Aplicando o ponto no gradiente, vamos obter
Obtendo o modulo desse vetor, temos
Porém como queremos a maior taxa de resfriamento, é só fazermos
Entendeu essa parte? 👀
Passo 4
Na segunda parte, temos que aplicar a função na função
Obtendo , temos
Para , temos
Portanto, fazendo o produto interno entre o gradiente de no ponto e para ...
Portanto, a taxa de variação que o pássaro sente é no ponto
Bacana, não é? 😁
Passo 5
Comparando os dois resultados, vemos que a máxima variação de resfriamento no ponto é dada por Kelvin, porém, a variação de temperatura sentida pela ave é de Kelvin.
Mas se é maior que , como o pássaro conseguiu encontrar uma variação de temperatura maior que a variação encontrada pelo gradiente de ?
Isso acontece pois o modulo de não é unitário, então com um vetor maior, a taxa de variação pode ser aumentada por abranger um espaço maior.
Pegou o esquema? Responde Aí! 😁
