Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Vetor Gradiente

Ver Teoria
Exercício 61234578910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455565758596061626364656667686970717273747576

Enunciado

UFU, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de Cálculo 3 - Profª Lúcia - Lista de Integral de Linha - 2023.1, Questão 6

6. Seja V x , y = x 2 + y 2 . Desenhe um campo F x , y satisfazendo ∇ V x , y · F x , y ≤ 0 .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema foi dada a função V x , y = x 2 + y 2 e temos que obter um campo vetorial F x , y que satisfaça a relação ∇ V x , y · F x , y ≤ 0 e tambem temos que desenhar o campo F .

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Primeiramente temos que calcular o gradiente de V e depois substituir em ∇ V x , y · F x , y ≤ 0 para encontrar F .

Parece tranquilo? Bora lá! 😬

Passo 2

Calculando o gradiente de V , temos

∇ V x , y = ∂ V ∂ x , ∂ V ∂ y

∇ V x , y = ∂ x 2 + y 2 ∂ x , ∂ x 2 + y 2 ∂ y

∇ V x , y = 2 x , 2 y

Substituindo na inequação, temos

∇ V x , y · F x , y ≤ 0

2 x , 2 y · a , b ≤ 0

Calculando o produto interno...

2 a x + 2 b y ≤ 0

b ≥ - a x y

Dessa forma podemos definir F como

F x , y = a , a x y

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Para satisfazer a inequação 2 a x + 2 b y ≤ 0 podemos definir a = - 1 / x , ou seja

F x , y = - 1 x , - 1 x x y

F x , y = - 1 x , - 1 y

Dessa forma, recalculando o produto vetorial, temos

2 x , 2 y · - 1 x , - 1 y = - 2 - 2 = - 4

O que satisfaz a inequação!

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

F x , y = - 1 x , - 1 y

Exercícios de Livros Relacionados

a ) Determine o gradiente de f b ) Calcule o gradiente no ponto P c ) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u . f x , y , z = x + y z P 1,3 , 1 u = 2 7 , 3 7, 6 7
Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:c) z = s e n( 3 x + y ) ; P 0 , π 2
Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:g) f u ,v ,w = u 2 + v 2 - w 2 + u v w ; P 0,1 ,0
Determine a equação da reta tangente à curva de nível dada, no ponto dado. x 2 + x y + y 2 - 3 y = 1 ,e m 1,2
Determine a função f : R 2 → R cujo gráfico passa pelo ponto ( 1,2 , 1 ) e tal que ∇ f x , y = ( 2 x y 3 - 2 x , 3 x 2 y 2 + 2 y - 1 )