6. Seja V x , y = x 2 + y 2 . Desenhe um campo F x , y satisfazendo ∇ V x , y · F x , y ≤ 0 .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema foi dada a função V x , y = x 2 + y 2 e temos que obter um campo vetorial F x , y que satisfaça a relação ∇ V x , y · F x , y ≤ 0 e tambem temos que desenhar o campo F .

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Primeiramente temos que calcular o gradiente de V e depois substituir em ∇ V x , y · F x , y ≤ 0 para encontrar F .

Parece tranquilo? Bora lá! 😬

Passo 2

Calculando o gradiente de V , temos

∇ V x , y = ∂ V ∂ x , ∂ V ∂ y

∇ V x , y = ∂ x 2 + y 2 ∂ x , ∂ x 2 + y 2 ∂ y

∇ V x , y = 2 x , 2 y

Substituindo na inequação, temos

∇ V x , y · F x , y ≤ 0

2 x , 2 y · a , b ≤ 0

Calculando o produto interno...

2 a x + 2 b y ≤ 0

b ≥ - a x y

Dessa forma podemos definir F como

F x , y = a , a x y

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Para satisfazer a inequação 2 a x + 2 b y ≤ 0 podemos definir a = - 1 / x , ou seja

F x , y = - 1 x , - 1 x x y

F x , y = - 1 x , - 1 y

Dessa forma, recalculando o produto vetorial, temos

2 x , 2 y · - 1 x , - 1 y = - 2 - 2 = - 4

O que satisfaz a inequação!

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

F x , y = - 1 x , - 1 y

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