No exercício anterior, calcule o gradiente nos seguintes pontos abaixo.

c) P(2, -1, 1)

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar o vetor gradiente no ponto P , que nada mais é do que o vetor normal à superfície de nível da função naquele ponto.

Pra calcular o vetor gradiente, tudo que a gente precisa fazer é calcular as derivadas parcias da função e coloca-las num vetor. Assim, vamos ter a derivada parcial em relação a x na componente x , a derivada parcial em relação a y na componente y e a derivada parcial em relação a z na componente z do vetor. Ou seja:

∇ f x ,   y ,   z = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y ,   ∂ f ∂ z

Mas como ele quer o gradiente no ponto, basta substituir o ponto que ele deu em ∇ f x ,   y ,   z .

Vamos lá!

Passo 2

Para f x ,   y ,   z = x 2 y z - x z 3 , vamos calcular a derivada parcial em relação a x (tratando y e z como constantes):

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x x 2 y z - x z 3 = 2 x y z - z 3

Calculando a derivada parcial em relação a y (tratando x e z como constantes), temos:

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y x 2 y z - x z 3

= x 2 z - 0 = x 2 z

E, por último, a derivada parcial em relação a z (tratando x e y como constantes), temos:

∂ f ∂ z = ∂ ∂ z x 2 y z - x z 3

= x 2 y - 3 x z 2

Agora basta juntar tudo no vetor gradiente:

∇ f x ,   y = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y ,   ∂ f ∂ z

∇ f x ,   y = 2 x y z - z 3 ,   x 2 z , x 2 y - 3 x z 2  

E, finalmente, encontramos o vetor gradiente no ponto dado, substituindo x ,   y ,   z = ( 2 ,   - 1 ,   1 ) :

∇ f ( 2 ,   - 1 ,   1 ) = 2 ( 2 ) ( - 1 ) ( 1 ) - 1 3 ,   2 2 ( 1 ) , 2 2 ( - 1 ) - 3 ( 2 ) ( 1 ) 2

∇ f ( 2 ,   - 1 ,   1 ) = - 5 ,   4 ,   - 10

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

∇ f ( 2 ,   - 1 ,   1 ) = - 5 ,   4 ,   - 10

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