UFAM– Cálculo 2 – PF – Questão 1b
Encontre as equações dos planos tangentes ao gráfico de que passam por ambos os pontos e
Passo 1
Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar! O problema pede as equações dos planos tangentes ao gráfico
E que passa pelos pontos (2,0,0) e (3,0,4).
Para achar a equação do plano tangente é aquele mesmo processo de sempre: achar as derivadas parciais (formando o vetor gradiente) e multiplicar por um vetor genérico .
Aí falamos que esse produto é , pois o vetor gradiente e o plano tangente são perpendiculares.
Então partiu encontrar essas derivadas!
Então, o gradiente fica assim:
E agora temos o nosso vetor gradiente num ponto da superfície:
E agora, é só jogar um ponto lá? Qual ponto? O problema não fala em ponto de tangência! E agora?
Calma! Tem mais coisa aqui! Porque ele quer as equações dos planos que passam por aqueles dois pontos ao mesmo tempo!
Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Ok, e agora? A questão não só não nos deu o ponto de tangência do plano, como nos pediu os possíveis planos!
Mas calma, ela disse que tanto o ponto como o pertencem aos planos tangentes. E o que isso significa?
Então, lembra daquele vetor genérico que sempre criamos, ? As primeiras coordenadas, e eram de pontos que formavam o plano, sendo que as segundas, eram do ponto de tangência, certo?
Como agora temos as coordenadas e , de dois pontos que foram dados pelo enunciado, ainda podemos descobrir a equação do plano!
Assim, vamos montar duas equações: uma dizendo que o produto escalar entre o vetor gradiente e o vetor é , e outra dizendo que o produto escalar entre o vetor gradiente e o vetor é .
Então, poderemos descobrir as coordenadas dos pontos de tangência, e a equação dos dois planos!
Beleza?
Passo 3
Desenvolvendo a primeira,
Vamos guardar esse resultado!
Desenvolvendo a segunda, temos:
E o nosso sistema fica:
Como sabemos que , então:
Aí substituindo no sistema temos:
Que vale:
Tranquilo até aqui?
Passo 4
Nossa missão agora é resolver esse sistema
podemos subtrair a primeira equação da segunda, e teremos:
Colocando esse valor em qualquer uma das duas, por exemplo, na primeira, teremos:
Beleza?
E teremos, colocando esses dois valores na equação do ,
E nossos dois pontos de tangência são e !
Tudo bem até aqui?
Sabemos que para cada ponto de tangência tem um plano tangente, então teremos duas equações para achar! Bora lá?
Passo 5
Agora sim! Como sabemos em quais pontos os planos são tangentes, vamos criar dois vetores genéricos, um para cada plano, e .
Fazendo o produto escalar entre o vetor gradiente da superfície no primeiro ponto e o primeiro vetor genérico, teremos:
Show! Vamos para o segundo plano?
Fazendo o produto escalar entre o vetor gradiente e o segundo vetor genérico, teremos:
Ufa! Terminamos!
Até próxima!