Encontre as equações dos planos tangentes ao gráfico de f x , y = 24 - x 2 + y 2 que passam por ambos os pontos ( 2,0 , 0 ) e ( 3,0 , 4 )

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar! O problema pede as equações dos planos tangentes ao gráfico

f x , y = 24 - x 2 + y 2

E que passa pelos pontos (2,0,0) e (3,0,4).

Para achar a equação do plano tangente é aquele mesmo processo de sempre: achar as derivadas parciais (formando o vetor gradiente) e multiplicar por um vetor genérico x - x 0 , y - y 0 ,   z - z 0 .

Aí falamos que esse produto é 0 , pois o vetor gradiente e o plano tangente são perpendiculares.

Então partiu encontrar essas derivadas!

f x , y = z = 24 - x 2 + y 2

Então, o gradiente fica assim:

F x , y , z = 24 - x 2 + y 2 - z

f x x , y = - 2 x

f y x , y = 2 y

f z x , y = - 1

E agora temos o nosso vetor gradiente num ponto x 0 , y 0 , z 0 da superfície:

∇ F x 0 , y 0 , z 0 = - 2 x 0 , 2 y 0 , - 1

E agora, é só jogar um ponto lá? Qual ponto? O problema não fala em ponto de tangência! E agora?

Calma! Tem mais coisa aqui! Porque ele quer as equações dos planos que passam por aqueles dois pontos ao mesmo tempo!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Ok, e agora? A questão não só não nos deu o ponto de tangência x 0 , y 0 , z 0 do plano, como nos pediu os possíveis planos!

Mas calma, ela disse que tanto o ponto 2,0 , 0 como o 3,0 , 4 pertencem aos planos tangentes. E o que isso significa?

Então, lembra daquele vetor genérico que sempre criamos, x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 ? As primeiras coordenadas, x   e y , eram de pontos que formavam o plano, sendo que as segundas, eram do ponto de tangência, certo?

Como agora temos as coordenadas x e y , de dois pontos que foram dados pelo enunciado, ainda podemos descobrir a equação do plano!

Assim, vamos montar duas equações: uma dizendo que o produto escalar entre o vetor gradiente e o vetor 2 - x 0 , 0 - y 0 , 0 - z 0 é 0 , e outra dizendo que o produto escalar entre o vetor gradiente e o vetor 3 - x 0 , 0 - y 0 , 4 - z 0 é 0 .

Então, poderemos descobrir as coordenadas dos pontos de tangência, e a equação dos dois planos!

∇ F x , y , z . 2 - x 0 , 0 - y 0 , 0 - z 0 = 0 ∇ F x , y , z . 3 - x 0 , 0 - y 0 , 4 - z 0 = 0

Beleza?

Passo 3

Desenvolvendo a primeira,

- 2 x 0 , 2 y 0 , - 1 . 2 - x 0 , 0 - y 0 , 0 - z 0 = 0

- 4 x 0 + 2 x 0 2 - 2 y 0 2 + z 0 = 0

Vamos guardar esse resultado!

Desenvolvendo a segunda, temos:

- 2 x 0 , 2 y 0 , - 1 . 3 - x 0 , 0 - y 0 , 4 - z 0 = 0

- 6 x 0 + 2 x 0 2 - 2 y 0 2 - 4 + z 0 = 0

E o nosso sistema fica:

- 4 x 0 + 2 x 0 2 - 2 y 0 2 + z 0 = 0 - 6 x 0 + 2 x 0 2 - 2 y 0 2 - 4 + z 0 = 0

Como sabemos que z = 24 - x 2 + y 2 , então:

z 0 = 24 - x 0 2 + y 0 2

Aí substituindo no sistema temos:

- 4 x 0 + 2 x 0 2 - 2 y 0 2 + ( 24 - x 0 2 + y 0 2 ) = 0 - 6 x 0 + 2 x 0 2 - 2 y 0 2 - 4 + ( 24 - x 0 2 + y 0 2 ) = 0

Que vale:

+ 4 x 0 - x 0 2 + y 0 2 = 0 + 6 x 0 - x 0 2 + y 0 2 = 20

Tranquilo até aqui?

Passo 4

Nossa missão agora é resolver esse sistema

+ 4 x 0 - x 0 2 + y 0 2 = 0 + 6 x 0 - x 0 2 + y 0 2 = 20

podemos subtrair a primeira equação da segunda, e teremos:

2 x 0 = 20

x 0 = 1 0

Colocando esse valor em qualquer uma das duas, por exemplo, na primeira, teremos:

4 . 1 0 - 10 2 + y 0 2 = 0

y 0 2 = 1 00 - 40

y 0 = 60 = ± 2 15

Beleza?

E teremos, colocando esses dois valores na equação do z 0 ,

z 0 = 24 - x 0 2 + y 0 2

z 0 = 24 - 10 2 + 60 2 = 24 - 100 + 60 = - 16

E nossos dois pontos de tangência são 1 0 , + 2 15 , - 16 e 10 , - 2 15 , - 16 !

Tudo bem até aqui?

Sabemos que para cada ponto de tangência tem um plano tangente, então teremos duas equações para achar! Bora lá?

Passo 5

Agora sim! Como sabemos em quais pontos os planos são tangentes, vamos criar dois vetores genéricos, um para cada plano, x - 1 0 , y - 2 15 , z + 16 e x - 1 0 , y + 2 15 , z + 16 .

Fazendo o produto escalar entre o vetor gradiente da superfície - 2 x 0 , 2 y 0 , - 1 no primeiro ponto 10 , + 2 15 , - 16 e o primeiro vetor genérico x - 10 , y - 2 15 , z + 16 , teremos:

∇ F x , y , z . x - x 0 , y - y 0 , z - z 0

- 2.1 , + 2.1 , - 1 . x - 10 , y - 2 15 , z + 16 =   0

- 2 x - 10 + 2 y - 2 15 - 1 z + 16 = 0

- 2 x + 2 y - z = - 20 + 4 15 + 16

x - y + z = 2 - 2 15

Show! Vamos para o segundo plano?

Fazendo o produto escalar entre o vetor gradiente e o segundo vetor genérico, teremos:

- 2.1 , + 2.1 , - 1 . x - 10 , y + 2 15 , z + 16 =   0

- 2 x - 10 + 2 y + 2 15 - 1 z + 16 = 0

- 2 x + 2 y - z = - 20 - 4 15 + 16

x - y + z = 2 + 2 15

Ufa! Terminamos!

Até próxima!

Resposta

x - y + z = 2 + 2 15

x - y + z = 2 - 2 15

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