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Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes por Integrais Duplas

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Enunciado

UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de Estudo Cálculo 3 - UFSCAR - Lista de Integrais de Superfície, Questão 2a

2 Calcule a área:

a. r u , v = u , v , 1 - u - v ,     u ≥ 0 ,     v ≥ 0 ,     u + v ≤ 1

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema queremos saber qual é a área da superfície parametrizada r u , v = u , v , 1 - u - v em que u ≥ 0 , v ≥ 0 e u + v ≤ 1 .

Como resolvemos esse problema? 🤔

A área de superfícies parametrizadas é obtida a partir da formulinha

A = ∬ R r u × r v d R

Onde r u é a derivada parcial de r com relação a u e r v é a derivada parcial de r com relação a v .

Tranquilo? Bora começar! 😊

Passo 2

Mas antes, vamos definir nossa região de integração... foi dito que u ≥ 0 , v ≥ 0 e u + v ≤ 1 , ou seja, se u + v ≤ 1 e u ≥ 0 , então

0 + v ≤ 1 → v ≤ 1

E se v ≥ 0 e u + v ≤ 1 , então

u + 0 ≤ 1 → u ≤ 1

Portanto, vemos que 0 ≤ u ≤ 1 e 0 ≤ v ≤ 1 .

Com os limites de integração obtidos, vamos obter as derivadas de r .

Com relação a u ...

r u = d u , v , 1 - u - v d u = d u d u , d v d u , d 1 - u - v d u

r u = 1 , 0 , - 1

Agora com relação a v ...

r v = d u , v , 1 - u - v d v = d u d v , d v d v , d 1 - u - v d v

r v = 0 , 1 , - 1

Bacana, não é? 😁

Passo 3

Agora vamos obter o produto vetorial entre r u e r v ...

r u × r v = i → j → k → 1 0 - 1 0 1 - 1 = 1,1 , 1

Obtendo o modulo desse vetor, temos

r u × r v = 1 2 + 1 2 + 1 2

r u × r v = 3

E por fim, substituindo na integral aplicando os limites de integração

A = ∬ R r u × r v d R = ∫ 0 1 ∫ 0 1 3 d u d v

A = 3

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

A = 3

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