(Cap 15.2 – Ex 31) Encontre o volume do sólido delimitado pelo paraboloide z = 2 + x 2 + y - 2 2 e pelos planos z = 1   ,     x = 1   ,     x = - 1   ,     y = 0 e y = 4 .

Passo 1

Falaiii galerinha, show de bolinhas?

Vamos avaliar o volume da região como uma integral iterada da seguinte maneira

∫ a b ∫ c d f x ,   y d x d y

O diagrama de paraboloide z = 2 + x 2 + y - 2 2 , e da seguinte maneira

Para que possamos determinar o volume desse sólido, primeiro precisamos escrever uma integral dupla que o descreva. Pra achar os limites de integração, olhamos para os planos que delimilitam o sólido:

V = ∫ 0 4 ∫ - 1 1 z x ,   y d x   d y

Obtemos z ( x ,   y ) a partir da equação do paraboloide e da equação do plano z = 1 , subtraindo-as:

z x ,   y = 2 + x 2 + y - 2 2 - 1

z x ,   y = 1 + x 2 + y - 2 2

V = ∫ 0 4 ∫ - 1 1 1 + x 2 + y - 2 2   d x   d y

Passo 2

Quando a gente tem uma integral dupla, a gente sempre começa resolvendo de dentro pra fora, assim:

∫ 0 4 ∫ - 1 1 1 + x 2 + y - 2 2   d x   d y

∫ 0 4 ∫ - 1 1 1 + x 2 + y - 2 2   d x d y

= ∫ 0 4 x + x 3 3 + y - 2 2 x - 1 1 d y

= ∫ 0 4 2 1 + 1 3 + y - 2 2 d y

= ∫ 0 4 8 3 + 2 y - 2 2   d y

Passo 3

Agora, é só resolver a integral

∫ 0 4 8 3 + 2 y - 2 2 d y

= 8 y 3 + 2 y - 2 3 3 0 4

8 y 3 + 2 y - 2 3 3 0 4

= 8   .   4 3 + 2 4 - 2 3 3 - 0 - 2 - 2 3 3

= 64 3

Beleza?

Resposta

64 3

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