Use uma integral dupla para determinar o volume do sólido abaixo do parabolóide z = x 2 + y 2 e acima da região limitada por y = x 2 e x = y 2 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcular o volume do sólido abaixo do parabolóide z = x 2 + y 2 e acima da região limitada por y = x 2 e x = y 2 utilizando uma integral dupla.

Primeiramente devemos analisar a intersecção do paraboloide com o plano x y :

z = x 2 + y 2 ∴

0 = x 2 + y 2 ∴

x = y = 0

Logo, a intersecção é a origem.

Agora, vamos encontrar os pontos de intersecções entre as duas curvas dadas y = x 2 e x = y 2 :

y = x 2 ∴

y = y 2 2 ∴

y - y 4 = 0 ∴

y = 0 → x = 0

y = 1 ��� x = 1

Dessa forma, temos a nossa integral do volume V :

V = ∫ 0 1 ∫ y 2 y x 2 + y 2 d x d y

Eaí? Bora lá resolver?

😉

Passo 2

Bom... Integrando primeiro em relação a d x ,vamos pegar essa integral:

∫ y 2 y x 2 + y 2 d x

= ∫ y 2 y x 2 d x + ∫ y 2 y y 2 d x ∴

= x 3 3 + y 2 x y y 2 ∴

= y 3 - y 4 + y 3 - y 6 3

Passo 3

Agora, aplicando o resultado na integral mais externa e resolvendo, temos:

∫ 0 1 ∫ y 2 y x 2 + y 2 d x d y = ∫ 0 1 y 3 - y 4 + y 3 - y 6 3 d y ∴

= ∫ 0 1 y 3 d y - ∫ 0 1 y 4 d y + ∫ 0 1 y 3 3 d y - ∫ 0 1 y 6 3 d y ∴

= y 4 4 - y 5 5 + y 4 12 - y 7 21 1 0 ∴

= 3 35

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

3 35

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