Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes por Integrais Duplas

Ver Teoria
Exercício 781234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465666768697071727374757677798081828384858687888990

Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 1 - 2022.1, Questão 33

Use a transformação x = u 2 ,   y = v 2 ,   z = w 2 para calcular o volume da região limitada pela superfície x + y + z = 1 e pelos planos coordenados.

Passo 1

Beleza meu amigo? Aqui precisamos calcular um volume de uma região e para isso usaremos uma integral tripla, já temos uma transformação dada pelo enunciado então o que nos resta é encontrar os limites de integração, montar e integral e calcular.

Precisamos calcular o Jacobiano dessa mudança de variáveis.

2 u 0 0 0 2 v 0 0 0 2 w

u + v + w ≤ 1

0 ≤ w ≤ 1 - v - u

w = 0 → u + v ≤ 1

0 ≤ v ≤ 1 - u

w = 0 ,   v = 0   u ≤ 1

0 ≤ u ≤ 1

Passo 2

Agora montando minha integral e calculando

V =   ∫ 0 1 ∫ 0 1 - u ∫ 0 1 - v - u 8 u v w d w d v d u

= ∫ 0 1 ∫ 0 1 - u 8 u v 1 - v - u 2 d v d u

= ∫ 0 1 ∫ 0 1 - u 4 u v 1 - 2 u + v + u + v 2 d v d u

= 4 ∫ 0 1 ∫ 0 1 - u u v 1 - 2 u - 2 v + u 2 + 2 a v + v 2 d v d u

= 4 ∫ 0 1 u v 1 - 2 u + u 2 - 2 1 - u v + v 2 d v d u

= 4 ∫ 0 1 ∫ 0 1 - u u 1 - u 2 v - 2 u 1 - u v 2 + u v 3 d v d u

= 4 ∫ 0 1 [ u 1 - u 2 ∙ 1 - u 2 2 - 2 u 1 - u ∙ 1 - u 2 3 + u 1 - u 4 4 ] d u

= 4 ∫ 0 1 1 2 - 1 3 + 1 4 u 1 - u 4 d u

= 4 12 ∫ 0 1 u 1 - 4 u + 6 u 2 - 4 u 3 + u 4 d u

= 1 3 ∫ 0 1 u - 4 u 2 + 6 u 3 - 4 u 4 + u 5 d u

= 1 3 1 2 - 4 3 + 6 4 - 4 5 + 1 6

= 1 3 2 - 4 8 15 + 1 6

= 1 3 2 - 32 15 + 1 6

= 1 3 60 - 64 + 5 30

= 1 90

Resposta

= 1 90

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a área da superfície com precisão de quatro casas decimais expressando a área em termos de uma integral simples e usando uma calculadora para estimar a integral.A parte da superfície z = 1 /
Use um sistema de computação algébrico para determinar o volume exato do sólido.Delimitado por z = x 2 + y 2 e z = 2 y .
Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.Limitado pelo paraboloide z = 1 + 2 x 2 + 2 y 2 e pelo plano z = 7 no primeiro octante
Desenhe o sólido cujo volume é dado pela integral iterada. ∫ 0 1 ∫ 0 1 4 - x - 2 y d x d y
Nos Exercícios 67 e 68, esboce a região de integração e o sólido cujo volume seja dado pela integral dupla.