Determine o volume do solido contido no primeiro octante limitado por z = 9 - y^2 e pelo plano x = 2 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... aqui a gente quer calcular o volume do cilindro no primeiro octante, ou seja, z ≥ 0 ,   x ≥ 0 e y ≥ 0 .

Mas repare que z é uma função de y . Assim, para que z ≥ 0 , y ≤ 3 .

Com base nisso, para calcular o volume, devemos satisfazer a seguinte integral dupla:

∫ 0 3 ∫ 0 2 9 - y 2 d x   d y

Eaí? Bora lá resolver?

😉

Passo 2

Bom... Integrando primeiro em relação a x ,vamos pegar essa integral:

∫ 0 2 9 - y 2 d x

O integrando é uma constante em relação a d x , portanto:

= 9 - y 2 ∫ 0 2 d x ∴

= 9 - y 2 x 2 0 ∴

= 2 9 - y 2 ∴

= 18 - 2 y 2

Passo 3

Agora, aplicando o resultado na integral mais externa, temos:

∫ 0 3 ∫ 0 2 9 - y 2 d x   d y = ∫ 0 3 18 - 2 y 2   d y ∴

Aplicando a regra da soma/diferença e desenvolvendo, temos:

= ∫ 0 3 18   d y - ∫ 0 3 2 y 2   d y ∴

= 18 y - 2 y 3 3 3 0 ∴

= 18 * 3 - 2 3 * 3 3 ∴

= 36

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

36

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