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Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes por Integrais Duplas

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Enunciado

UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de C3 - Profª Alessandra Verri - Lista 1, Questão 2

Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do plano 3 x +   2 y   + z   =   12 e acima do retângulo R   =   [ 0 ,   1 ]   ×   [ − 2 ,   3 ] .

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que determinar o volume do sólido de altura z , que obedece a equação:

  3 x +   2 y   + z   =   12  

  z   =   12 - 3 x -   2 y

Como o sólido está acima do retângulo R   =   [ 0 ,   1 ]   ×   [ − 2 ,   3 ] , temos que - 2 ≤ x ≤ 0 e 1 ≤ y ≤ 3 .

Então podemos obter o volume desse sólido por meio da integração dupla da função z:

V = ∫ y i y f ∫ x i x f z ( x , y ) d x   d y

Então vamos lá!

Passo 2

Vamos montar e resolver a integral:

V = ∫ y i y f ∫ x i x f z ( x , y ) d x   d y = ∫ 1 3 ∫ - 2 0 (   12 - 3 x -   2 y ) d x   d y

Resolvendo a integral em x e aplicando os limites:

V = ∫ 1 3 (   12 x - 3 x 2 2 -   2   y   x ) | - 2 0   d y = ∫ 1 3 (   24 + 6 -   4   y   )   d y

V = ∫ 1 3 (   30 -   4   y   )   d y .

Passo 3

Agora vamos resolver a integral em y e aplicar os limites de integração:

V = ∫ 1 3 (   30 -   4   y   )   d y = ( 30   y - 2   y 2 ) | 1 3

V = 30 ( 3 ) - 2   ( 3 2 ) - 30 + 2

V = 62 - 18

V = 44

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

V = 44 unidade de volume.

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