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Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes por Integrais Duplas

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Enunciado

UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de C3 - Profª Alessandra Verri - Lista 1, Questão 5

Determine o volume do sólido delimitado pelo parabolóide z   =   2   + x 2 +   ( y - 2 ) 2 e pelos planos   z   =   1 ,   x   =   1 ,   x   =   − 1 ,   y   =   0 e   y   =   4 .

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que determinar o volume do sólido delimitado pelo parabolóide, que obedece a equação:

z   =   2   + x 2 +   ( y - 2 ) 2

Como o sólido está delimitado pelos planos   z   =   1 ,   x   =   1 ,   x   =   − 1 ,   y   =   0 e   y   =   4 .

Então podemos obter o volume desse sólido por meio da integração dupla da função ( z ( x ,   y ) - 1 ) que representa a altura do sólido:

V = ∫ y i y f ∫ x i x f ( z ( x , y ) - 1 ) d x   d y

Então vamos lá!

Passo 2

Vamos montar e resolver a integral:

V = ∫ y i y f ∫ x i x f ( z ( x , y ) - 1 ) d x   d y = ∫ 0 4 ∫ - 1 1 1   + x 2 +   ( y - 2 ) 2

Resolvendo a integral em x e aplicando os limites:

V = ∫ 0 4 ( 1 + ( y - 2 ) 2 ) x + ( x 3 3 ) | - 1 1   d y = ∫ 0 4 2 ( 1 + ( y - 2 ) 2 ) + ( 2 3 )   d y

V = ∫ 0 4 ( 8 3 + 2 ( y - 2 ) 2 ) d y .

Passo 3

Agora vamos resolver as integrais em y e aplicar os limites de integração. Vamos fazer uma substituição simples na segunda integral u = y - 2 :

V = ( 8 3 y + 2 ( y - 2 ) 3 3 ) | 0 4  

V = ( 32 3 + 2 2 3 - ( - 2 ) 3 3 )

V = 64 3 .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

V = 64 3 unidades de volume.

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