Integrais Duplas sobre regiões gerais
Considere a região plana definida por
e) Calcule o volume da região espacial:
Passo 1
e) Volume? Integral dupla de função! No caso, a função que devemos integrar, lembre, é a variação do ! Olhando para a região, temos:
Ou seja, o domínio de integração é a região .
Sendo que . Mas é ! Então, temos que integrar:
Vamos ver como que fica isso!
Passo 2
Vamos ter:
Tá... e que integral é essa, de ? Estamos pensando em primitivas, certo? Então a pergunta é: o que, derivando, dá ?
Para responder a essa pergunta, temo que perceber que, como o aparece duas vezes, isso provém de uma “regra do produto”. E, ainda, que, se derivarmos , teremos:
Show? A derivada do primeiro vezes o segundo, mais a derivada do segundo vezes o primeiro :) E viu o que temos no segundo termo? Exatamente o ! E qual é o primeiro? É , cuja derivada é ele mesmo! Assim, para “corrigir” essa regra do produto, temos que a primitiva de é , pois:
Eu sei, não é nada intuitivo... muito , muito , mas na hora da prova saia inventando e derivando expressões parecidas, até encontrar a primitiva. Se você demorar mais do que 10 minutos nisso, passe para a próxima XD
Continuando, temos:
Pronto, essa já foi!
Resposta
e) Volume