Considere a região plana S definida por

S = { x, y ∈ R² | -e^x ≤ y ≤ e^x, 0 ≤ x ≤ 2 }

e) Calcule o volume da região espacial:

U = { x, y, z ∈ R^3 | 0 ≤ z ≤ x, -e^x ≤ y ≤ e^x, 0 ≤ x ≤ 2 }

Passo 1

e) Volume? Integral dupla de função! No caso, a função que devemos integrar, lembre, é a variação do z ! Olhando para a região, temos:

U = x , y , z ∈ R 3 0 ≤ z ≤ x ,   - e x ≤ y ≤ e x ,   0 ≤ x ≤ 2

Ou seja, o domínio de integração é a região S .

∫ 0 2 ∫ - e x e x F x , y d y d x

Sendo que F x , y = Δ z . Mas Δ z é x - 0 = x ! Então, temos que integrar:

∫ 0 2 ∫ - e x e x x   d y d x

Vamos ver como que fica isso!

Passo 2

Vamos ter:

∫ 0 2 ∫ - e x e x x   d y d x =

∫ 0 2 x y y = - e x y = e x   d x =

∫ 0 2 x e x — x e x   d x =

2 ∫ 0 2 x e x   d x =

Tá... e que integral é essa, de x e x ? Estamos pensando em primitivas, certo? Então a pergunta é: o que, derivando, dá x e x ?

Para responder a essa pergunta, temo que perceber que, como o x aparece duas vezes, isso provém de uma “regra do produto”. E, ainda, que, se derivarmos x e x , teremos:

x e x ' = 1 . e x + x e x

Show? A derivada do primeiro vezes o segundo, mais a derivada do segundo vezes o primeiro :) E viu o que temos no segundo termo? Exatamente o x e x ! E qual é o primeiro? É e x , cuja derivada é ele mesmo! Assim, para “corrigir” essa regra do produto, temos que a primitiva de x e x é x e x - e x , pois:

x e x - e x ' = 1 . e x + x e x - e x = x e x

Eu sei, não é nada intuitivo... muito e , muito x , mas na hora da prova saia inventando e derivando expressões parecidas, até encontrar a primitiva. Se você demorar mais do que 10 minutos nisso, passe para a próxima XD

Continuando, temos:

2 ∫ 0 2 x e x   d x =

2 x e x - e x 0 2 =

2 2 e 2 - e 2 - - 0 - - 1 =

2 e 2 + 2

Pronto, essa já foi!

Resposta

e) Volume = 2 e 2 + 2

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