Calcule o volume do sólido delimitado pelo gráfico de:
Passo 1
Bom, antes de mais nada, vamos desenhar essa região do problema, para visualizar melhor as coisas.
Nós temos o plano , o plano e o , que são traquilos de desenhar. Agora vamos pensar no .
Você pode fazer a reta no plano , tendo em mente que ela corta o eixo em (é o ponto onde ) e que cresce quando cresce, não precisa ser nada perfeito não! É um esboço. Agora, a equação do plano não possui a coordenada , basta “repetirmos” essa reta ao longo do eixo .
Agora vamos ao último plano . Repara que ele não tem a coordenada , então, basta desenharmos a reta no plano e repetí-la ao longo do eixo .
Temos então a seguinte região:
Aqui vai um outro ponto de vista, se você ficou confuso:
Beleza? Como o problema não menciona nenhum plano fechando a região por baixo, vamos assumir que , ou seja, que o volume é limitado pelo plano . Agora, chamando de essa região que acabamos de analisar, o problema pede então .
Passo 2
Certo, agora precisamos escrever matematicamente essa região, ok? Podemos ver que, na coordenada ela é limitada por duas funções ( e ) e no plano , por uma área, que chamaremos de .
Sendo assim, esse volume pode ser escrito da seguinte forma:
Passo 3
Agora precisamos escrever matematicamente essa área , como em qualquer integral dupla que já fizemos. Imagine o sólido visto de cima, temos isso aqui:
Essa é a área que limita no plano . Vamos descrevê-la como uma região do tipo I, na coordenada ela é limitada por funções (a reta vermelha e a roxa ) e na coordenada é limitada por números ( e ).
Podemos então escrever o seguinte:
Passo 4
Agora vamos substituir na integral esses intervalos que encontramos:
Cuidado com a ordem dos diferenciais! Ela tem que acompanhar os intervalos da integrais.
Passo 5
Agora em relação a :
Passo 6
Finalmente, integramos em relação a :