Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes por Integrais Duplas

Ver Teoria
Exercício 801234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465666768697071727374757677787981828384858687888990

Enunciado

UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de Estudo Cálculo 3 - UFSCAR - Lista de Integrais de Superfície, Questão 2b

2 Calcule a área:

b. r u , v = u , v , 2 - u ,     u 2 + v 2 ≤ 1

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema queremos saber qual é a área da superfície parametrizada r u , v = u , v , 1 - u em que u 2 + v 2 ≤ 1 .

Como resolvemos esse problema? 🤔

A área de superfícies parametrizadas é obtida a partir da formulinha

A = ∬ R r u × r v d R

Onde r u é a derivada parcial de r com relação a u e r v é a derivada parcial de r com relação a v .

Tranquilo? Bora começar! 😊

Passo 2

Mas antes, vamos definir nossa região de integração... foi dito que u 2 + v 2 ≤ 1 , então substituindo por coordenadas polares, onde u = r c o s θ e v = r s e n θ , vamos obter que

r c o s θ 2 + r s e n θ 2 ≤ 1

r 2 c o s 2 θ + r 2 s e n 2 θ ≤ 1

r 2 c o s 2 θ + s e n 2 θ ≤ 1

r 2 ≤ 1

Portanto, vemos que 0 ≤ r ≤ 1 e 0 ≤ θ ≤ 2 π . Pois essa região se trata de uma circunferência de raio 1 centrada na origem

Com os limites de integração obtidos, vamos obter as derivadas de r .

Com relação a u ...

r u = d u , v , 1 - u d u = d u d u , d v d u , d 1 - u d u

r u = 1 , 0 , - 1

Agora com relação a v ...

r v = d u , v , 1 - u d v = d u d v , d v d v , d 1 - u d v

r v = 0 , 1 , 0

Bacana, não é? 😁

Passo 3

Agora vamos obter o produto vetorial entre r u e r v ...

r u × r v = i → j → k → 1 0 - 1 0 1 0 = 1 , 0 , 1

Obtendo o modulo desse vetor, temos

r u × r v = 1 2 + 0 2 + 1 2

r u × r v = 2

E por fim, substituindo na integral aplicando os limites de integração em coordenadas polares adicionando o jacobiano r

A = ∬ R r u × r v d R = ∫ 0 1 ∫ 0 2 π r 2 d θ d r

A = 2 π 2 ∫ 0 1 r d r = 2 π 2 r 2 2 0 1

A = 2 π

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

A = 2 π

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a área da superfície com precisão de quatro casas decimais expressando a área em termos de uma integral simples e usando uma calculadora para estimar a integral.A parte da superfície z = 1 /
Use um sistema de computação algébrico para determinar o volume exato do sólido.Delimitado por z = x 2 + y 2 e z = 2 y .
Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.Limitado pelo paraboloide z = 1 + 2 x 2 + 2 y 2 e pelo plano z = 7 no primeiro octante
Desenhe o sólido cujo volume é dado pela integral iterada. ∫ 0 1 ∫ 0 1 4 - x - 2 y d x d y
Nos Exercícios 67 e 68, esboce a região de integração e o sólido cujo volume seja dado pela integral dupla.