UFPE, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - Profº Ricardo F. da Silva - Undécima Lista, Questão 5c
Use uma integral dupla para calcular a área das seguintes regiões. Faça um esboço da região.
c) A região no primeiro quadrante limitado por , e .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular a área da região entre as curvas , e . Vamos começar fazendo o esboço da região, pra gente entender como é essa área.
Como ele quer apenas no primeiro quadrante, a região limitada pelas três curvas vai ser essa em amarelo. Pra gente conseguir integrar essa região, vamos ter que dividir ela em duas. Uma parte onde vai de até (onde a parábola e a reta em verde se encontram) e vai de (reta em verde) até (reta em azul). E outra parte onde vai de a (onde a parábola encontra a reta em azul) e vai de (parábola em laranja) até (reta em azul). Ou seja, vamos ter:
A fórmula do cálculo de área usando integral dupla é dada por:
Onde é cada uma das nossas regiões de integração. Então, vamos substituir os limites na integral dupla e calcular. Vamos lá!
Passo 2
No passo , nós dividimos nossa região em duas e vimos que nossos intervalos na primeira integração serão:
Assim, temos a integral de área:
E na segunda região, temos:
E sua integral de área:
Juntando as duas, temos a área total:
Passo 3
Integrando em ambas em relação a , temos:
Aplicando os intervalos de integração em :
Integrando agora em relação a :
Aplicando os intervalos de integração:
E temos a nossa área:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉