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Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes por Integrais Duplas

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Enunciado

UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de C3 - Profª Alessandra Verri - Lista 1, Questão 3

Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do parabolóide elíptico x 2 4   +   y 2 9 +   z   =   1 e acima do retângulo [ − 1 ,   1 ]   ×   [ − 2 ,   2 ] .

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que determinar o volume do sólido de altura z , que obedece a equação:

  x 2 4   +   y 2 9 +   z   =   1  

  z   =   1 - x 2 4   -   y 2 9

Como o sólido está acima do retângulo R   =   [ − 1 ,   1 ]   ×   [ − 2 ,   2 ] , temos que - 2 ≤ x ≤ - 1 e 1 ≤ y ≤ 2 .

Então podemos obter o volume desse sólido por meio da integração dupla da função z:

V = ∫ y i y f ∫ x i x f z ( x , y ) d x   d y

Então vamos lá!

Passo 2

Vamos montar e resolver a integral:

V = ∫ y i y f ∫ x i x f z ( x , y ) d x   d y = ∫ 1 2 ∫ - 2 - 1 (   1 - x 2 4   -   y 2 9 ) d x   d y

Resolvendo a integral em x e aplicando os limites:

V = ∫ 1 2 (   x - x 3 12 - y 2 9   x ) | - 2 - 1   d y = ∫ 1 2 (   ( - 1 + 2 ) - ( - 1 + 8 ) 12 - y 2 ( - 1 + 2 ) 9   )   d y

V = ∫ 1 2 ( 5 12 - y 2 9   )   d y .

Passo 3

Agora vamos resolver a integral em y e aplicar os limites de integração:

V = ∫ 1 2 ( 5 12 - y 2 9   )   d y = ( 5 12 y - y 3 27 ) | 1 2

V = 5 12 ( 2 - 1 ) - 1 27   ( 2 3 - 1 )

V = 5 12 - 7 27 = 135 - 84 324 = 5 324

V = 17 108

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

V = 17 108 unidade de volume.

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