UFAM– Cálculo 2 – P1 – Questão 5.1
Calcule o volume do solido abaixo do paraboloide e acima do retângulo delimitado pelos planos
Passo 1
Oi, tudo bem?
O problema nos deu a equação de um paraboloide
E pediu para calcularmos o volume que está compreendido embaixo dessa superfície e delimitado por um retângulo
Para calcular vamos usar uma integral dupla, pois é como se fizéssemos área da base vezes altura, e no nosso caso a altura é a equação do paraboloide
Para um retângulo, o diferencial de área é
E nossa altura
então a ideia é montar a integral, resolver primeiro em , aplicar os limites. Depois integrar em e por fim aplicar nos limites
no final precisamos ter apenas um número! Nada de sobrar variáveis heim!
Mas calma, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Vamos começar montando a integral:
Os limites:
E a altura:
aí o volume é:
Agora é #partiu integrar!
Passo 3
Primeiro a integral mais interna, em :
E agora é aplicar os limites! Mas aqui atenção, vamos aplicar em ! Aí temos:
E agora #partiu integrar em :
E é isso!
Ufa! Terminamos! Espero ter ajudado!
Até próxima!