Determine o volume do sólido delimitado pela superfície z = x / (cos^2(y)) e pelos planos z = 0, x = 0, x = 2, y = 0 e y = pi / 4 .

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que determinar o volume do sólido de altura z , que obedece a equação:

z   =   x /   c o s 2 y

Como o sólido está acima do plano z = 0 , e temos que 0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ π / 4 .

Então podemos obter o volume desse sólido por meio da integração dupla da função z:

V = ∫ y i y f ∫ x i x f z ( x , y ) d x   d y

Então vamos lá!

Passo 2

Vamos montar e resolver a integral:

V = ∫ y i y f ∫ x i x f z ( x , y ) d x   d y = ∫ 0 π / 4 ∫ 0 2 x c o s 2 y d x   d y

Resolvendo a integral em x e aplicando os limites:

V = ∫ 0 π / 4 1 c o s 2 y ( x 2 2 ) | 0 2   d y = 2 ∫ 0 π / 4 1 c o s 2 y d y

V = 2 ∫ 0 π / 4 1 c o s 2 y d y .

Passo 3

Agora vamos resolver a integral em y e aplicar os limites de integração, lembrando que:

1 c o s 2 y = s e c 2 y

E a integral de s e c 2 y já é conhecida:

V = 2 ∫ 0 π / 4 s e c 2 y   d y = 2   t a n   y | 0 π / 4

V = 2 ( t a n   π / 4 - t a n   0 )

V = 2 ( 1 - 0 )

V = 2 .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

V = 2 unidade de volume.

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