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Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes por Integrais Duplas

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Enunciado

UFSC, Sem Campus, Cálculo 1, Provas Profº Saeger - P3 2016.1, Questão 3b

Calcule as derivadas:

b) g ( z ) = z ² - 1 s e c   z

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão pede para a gente calcular a derivada da função g(z) dada. Primeiro, vamos notar que, qualquer potência a b pode ser escrita como a exponencial de um logarítmo na forma

a b = e l n z ² - 1 s e c   z = e s e c   z   l n z ² - 1

Então, podemos reescrever a função g(z) como

g ( z ) = e s e c   z   l n z ² - 1

Então, agora fica mais simples derivar a função utilizando a regra da cadeia. Então, vamos lá!

Passo 2

Se definirmos uma função h ( z ) = s e c   z   l n z ² - 1 , podemos escrever a função g(z) como g ( h ( z ) ) = e h ( z ) e, assim, podemos escrever a derivada de g utilizando a regra da cadeia, sabendo que a derivada da função exponencial é ela mesma:

d g d z = d d h e h ( z ) × d d z h ( z ) = e h ( z ) × d d z h ( z )

Como a derivada de h(z), pela regra do produto, é

d h d z = l n z ² - 1 × d d z ( s e c   z ) + s e c ( z ) d d z ( l n z ² - 1 ) = l n z ² - 1 t g ( z ) s e c ( z ) + s e c ( z ) z ² - 1 × 2 z

Então, h ' ( z ) = s e c ( z ) l n z ² - 1 t g ( z ) + 2 z z ² - 1 . Portanto, a derivada da função g(z) é:

d g d z = e h ( z ) s e c ( z ) l n z ² - 1 t g ( z ) + 2 z z ² - 1 = e s e c   z   l n z ² - 1 s e c ( z ) l n z ² - 1 t g ( z ) + 2 z z ² - 1

Ou, equivalentemente,

d g d z = z ² - 1 s e c   z s e c ( z ) l n z ² - 1 t g ( z ) + 2 z z ² - 1

Resposta

d g d z = z ² - 1 s e c   z s e c ( z ) l n z ² - 1 t g ( z ) + 2 z z ² - 1

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