- Use uma integral dupla para calcular o volume do sólido limitado por:
situado no primeiro octante.
Passo 1
Bem a primeira coisa que devemos fazer aqui é tentar entender um pouco mais sobre esse sólido . E não há nada melhor pra entendê-lo do que o desenhando no espaço. Bora?
Devemos começar desenhando cada uma dessas superfícies, vamos começar aqui essas três mais fáceis:
, nos representam três planos simples que se desenharmos os tês juntos, ele nos delimitará justamente o primeiro octante que queremos. Veja!
Agora, quanto a essas outras duas últimas superfícies mais chatinhas, me acompanhe melhor aqui! ;)
Passo 2
Para superfície que só dependem de duas incógnitas, podemos sempre desenha-la no plano primeiro. No nosso caso, , note no plano nos representa uma reta decrescente dessa forma:
Pois bem! Agora como essa equação não depende de , o que deve ser feito é “puxar” essa reta aí em torno do eixo , saca? Então essa é a superfície:
No caso... É um plano!
Passo 3
Agora façamos o mesmo com essa outra superfície: . Vamos lá! Agora pra ver se você entendeu como desenhar esse tipo de superfície, heim!
Primeiro devemos...?
desenhar a equação no plano (no caso no plano ):
Depois devemos...?
“Puxar” em torno do outro eixo (no caso aqui é o ):
Surge um cilindro parabólico, viu?! :D
Passo 4
Wooooow! Cuidado, pois ainda não terminamos de ver o sólido! Temos que colocar essas coisas juntas. Assim, o nosso sólido é...
esse cara apontado por esta seta !
Passo 5
Para se calcular o volume desse pedacinho , como você já sabe, devemos aplicar a fórmula do volume:
Onde se percebe que precisamos obter algumas informações cruciais para matar a questão:
- Precisamos saber quem é essa função a ser integrada.
- Além disso, precisamos saber quem é a região de integração.
Para ambas as questões, basta que olhemos para o sólido novamente e com mais cautela:
Repare que a função que devemos integrar, , é exatamente esse plano azul que é o teto do sólido, , percebeu?
Como a equação do cilindro azul é, concluímos que
Passo 6
Enquanto isso... A região de integração nada mais é do que a sombra desse “teto” no plano , o que formalmente chamamos de projeção no plano! Veja ;0
Ou... Visualizando de cima pra baixo...
Repare que toda a sombra do sólido está sendo delimitada pela parábola vermelha, . Porém só queremos o pedacinho no primeiro quadrante !
Essa parábola passa por quando como pode ser observado no desenho e
Porém só queremos a parte de cima, então se desconsidera essa parte negativa !
Descrevendo essa região como do Tipo 2 para facilitar as contas (se não teremos que xtrairmos raiz e tal ):
Porém o “Pedaço vermelho” é
Passo 7
Voltando então para a integral que devemos resolver...
e substituindo tudo
Então agora é só resolver! Bora?
Primeiro a de dentro...
Integrando...
Simplificando...
Integrando...