UFPE, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - Profº Ricardo F. da Silva - Undécima Lista, Questão 5a
Use uma integral dupla para calcular a área das seguintes regiões. Faça um esboço da região.
a) A região limitada pela parábola e a reta .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular a área da região entre a parábola e a reta . Vamos começar fazendo o esboço da região, pra gente entender como é essa área.
Então, nós vamos usar uma integral dupla, usando os pontos onde a reta e a parábola se interceptam como limites de integração em e as curvas e a reta como limites de integração em , para obter a área do gráfico em amarelo. A fórmula para esses casos é:
Onde é a nossa região de integração.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar descobrindo os pontos onde as curvas de encontram, igualando a equação das duas:
Assim,
Então, a reta intercepta a parábola em e . Esses são nossos limites de integração em , eles limitam nossa área horizontalmente. Agora perceba que verticalmente, a região é limitada por e por , então esses serão nossos limites de integração em . Ou seja:
Assim, temos a integral de área:
Integrando primeiro em relação a , temos:
Aplicando os limites de integração:
Integrando agora em relação a , vamos ter:
Aplicando os limites de integração em :
E temos nossa área:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉