UFPE, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - Profº Ricardo F. da Silva - Undécima Lista, Questão 4b
Determine o volume do sólido dado.
b) Limitado pelos planos coordenados e pelo plano .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular o volume limitado pelos planos coordenados e pelo plano . Os planos coordenados são os planos formados entre os eixos, podemos dizer que são os planos , e .
Nós sabemos que o volume é definido através da integral dupla:
Para analisarmos a região de integração, precisamos achar a interseção do plano dado com os planos coordenados, fazendo , e na equação . Com isso encontraremos nossos intervalos de integração e poderemos calcular a integral dupla para obter o volume.
Vamos lá!
Passo 2
Quando , temos:
Isolando na equação:
Assim, no plano , temos a reta :
Achando as interseções com e na reta, temos:
Pra :
Quando :
Então, podemos escrever nossa região de integração na forma:
Passo 3
Nossa função de integração �� , integrando sobre a região , temos o volume:
Assim, integrando em relação a , temos:
Aplicando os intervalos de integração em :
Integrando em relação a :
Aplicando os limites de integração em , temos nosso volume:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉