Provas e listas – Cálculo 3 –USP – p3 – questão 8
O volume do sólido delimitado pelos paraboloides e é igual a:
Passo 1
Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Mogli na área 😊. Bora responder Aí essa questão?
Nos pedem para calcular o volume comum à duas figuras, ou seja, imagine que uma está passando pela outra, é esse volume de uma passa pela outra.
Temos as nossas funções das figuras, vamos ver como ela são?
O que queremos saber é o volume com apenas, ou seja, quando as funções SÃO IGUAIS, ou seja, só esta parte:
Considerando que elas têm que ser iguais, vamos lá igualá-las?
Bora pro próximo passo?!
Passo 2
Obrigado por vir.
Assim, temos:
Igualando ambas:
Deixando tudo do mesmo lado:
Passando tudo pro outro lado e dividindo por 2, temos:
E chegamos nessa equação cônica. Como que ela fica no nosso gráfico?
Veja que ele passa exatamente pela parte que queremos calcular.
Passo 3
Então aqui é o xeque-mate! Pois nós queremos calcular a parte comum à dois paraboloides, o que nos resulta na equação:
Apesar de ser um cilindro, a área comum às duas funções é um disco de raio 1, isso pode nos ajudar a tirar uma boa sacada. Qual? Vejamos juntos.
Passo 4
Agora tendo a função, nós podemos realizar o passo esperto, que é notar que se temos um disco de raio um, então a área dele será:
Ou podemos realizar toda a integração toda. Para isso, vamos pegar os limites de integração? Temos a equação então:
Aqui podemos tomar qualquer ordem de variáveis, pois temos somente uma equação. Fazendo o limite em x, temos:
E uma vez já definido o limite de , podemos tomas os limites de integração para (uma vez tomado o limite de integração para agora ele é )
Resumindo:
Assim a nossa integral fica:
Integrando em :
Esse tipo de integração precisa de uma substituição. Geralmente são do tipo:
Bom, observando que temos , qual que ficaria melhor?
Bom, vendo assim nos prece que , certo?! Porque podemos fazer e agora nosso trabalho vai ser somente a analisar . Assim:
De forma que a derivada:
MAS, CALMA, JOVEM MANCEBO! Atente-se, quando nós fazemos alguma substituição, qualquer que seja, nós temos que ver como que os limites de integração estão nessa substituição, assim:
Logo a nossa integral fica:
Mas sabemos que
E encontramos o mesmo resultado que tínhamos provado antes.
Esse resultado é de qual alternativa? Letra d)
E acabamos por aqui, carinha. Obrigado por te ficado até aqui junto comigo. Até a próxima 😊
Resposta
Letra d)