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Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes por Integrais Duplas

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista 1 - 2023.1, Questão 3b

Uma piscina tem formato circular de raio 3 m e profundidade variando linearmente de sul a norte, sendo que no extremo sul é de 1 m e no extremo norte é de 2 m . Calcule o volume da piscina.

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... queremos determinar o volume de uma piscina que tem formato circular de raio 3 m e profundidade variando linearmente de sul a norte, sendo que no extremo sul é de 1 m e no extremo norte é de 2 m .

Como a piscina tem esse formato circular com raio de 3 m , então temos que, aplicando a equação da circunferência:

x 2 + y 2 = 3 2 ∴

x 2 + y 2 = 9

Em que 3 ≥ x ≥ - 3 . E, portanto:

- 9 - x 2 ≤ y ≤ 9 - x 2

Como a profundidade varia linearmente entre 1 e 2 , de x = - 3 a x = 3 , então:

z = x 6 + 3 2

Dessa forma, temos que o volume V da nossa piscina é dada pela seguinte integral dupla:

∫ - 3 3 ∫ - 9 - x 2 9 - x 2 x 6 + 3 2 d x d y ∴

∫ - 9 - x 2 9 - x 2 ∫ - 3 3 x 6 + 3 2 d y d x

Eaí? Bora lá resolver?

😉

Passo 2

Bom... Integrando primeiro em relação a y ,vamos pegar essa integral:

∫ - 3 3 x 6 + 3 2 d y ∴

= x 6 + 3 2 ∫ - 3 3 d y ∴

= x 6 + 3 2 y 3 - 3 ∴

= 9 x 6 + 3 2 ∴

= 3 x 2 + 27 2

Passo 3

Agora, aplicando o resultado na integral mais externa, temos:

∫ - 9 - x 2 9 - x 2 ∫ - 3 3 x 6 + 3 2 d y d x = ∫ - 9 - x 2 9 - x 2 3 x 2 + 27 2 d x ∴

Aplicando a regra da soma/diferença e desenvolvendo, temos:

= ∫ - 9 - x 2 9 - x 2 3 x 2 d x + ∫ - 9 - x 2 9 - x 2 27 2 d x ∴

= 3 x 2 4 + 27 x 2 9 - x 2 - 9 - x 2 ∴

= 27 π 2

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

27 π 2

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