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Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes por Integrais Duplas

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Enunciado

UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de C3 - Profª Alessandra Verri - Lista 1, Questão 7

Determine o volume do sólido delimitado pelo parabolóide hiperbólico z   = 3 y 2 - x 2 + 2 e acima do retângulo R   =   [ − 1 ,   1 ]   ×   [ − 2 ,   2 ] .

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que determinar o volume do sólido delimitado pelo parabolóide, que obedece a equação:

z   =   3 y 2 - x 2 + 2

e acima do retângulo R   =   [ − 1 ,   1 ]   ×   [ − 2 ,   2 ] .

Então podemos obter o volume desse sólido por meio da integração dupla da função ( z ( x ,   y ) ) que representa a altura do sólido:

V = ∫ y i y f ∫ x i x f ( z ( x , y ) ) d x   d y

Então vamos lá!

Passo 2

Vamos montar e resolver a integral:

V = ∫ y i y f ∫ x i x f ( z ( x , y ) ) d x   d y = ∫ 1 2 ��� - 2 - 1 3 y 2 - x 2 + 2   d x   d y

Resolvendo a integral em x e aplicando os limites:

V = ∫ 1 2 ( 3 y 2 + 2 ) x - ( x 3 3 ) | - 2 - 1   d y = ∫ 1 2 1 ( 3 y 2 + 2 ) - ( 1 3 )   d y

V = ∫ 1 2 ( 5 3 + 3 y 2 ) d y .

Passo 3

Agora vamos resolver as integrais em y e aplicar os limites de integração:

V = ( 5 3 y + y 3 ) | 1 2  

V = 1 3 ( 5 ( 2 - 1 ) + 3 ( 2 3 - 1 ) )

V = 31 3 .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

V = 31 3 unidades de volume.

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