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Exercícios Resolvidos de EDO Linear de 1ª Ordem

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Enunciado

UFPA – Cálculo I – Listas de Exercícios 01 – Questão 4a

Encontre a solução do problema de valor inicial dado

a ) y ' - y = 2 t e 2 t ,   y 0 = 1

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

O problema nos dá essa equação diferencial

y ' - y = 2 t e 2 t

E essa condição inicial

y 0 = 1

Para resolvê-la vamos relembrar um tipo de equação diferencial bem interessante, desse tipo aqui

y ' + p x y = r ( x )

A ideia aqui é resolver essa equação usando a técnica do fator integrante

Precisamos achar nosso fator integrante

μ x = e ∫ p x d x

Beleza? Com nosso fator, podemos ir direto para nossa solução y ( x ) :

μ x . y x = ∫ μ x . r x d x + C

E com a solução na mão, podemos aplicar a condição inicial e determinar nossa constante C ! Tranquilo?

x → t !

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Precisamos resolver essa equação aqui

y ' - y = 2 t e 2 t

Fazendo uma comparação temos que

p t = - 1

E

r t = 2 t e 2 t

Vamos encontrar nosso fator integrante

μ t = e - ∫ d t = e - t

Tudo bem?

Agora nossa solução é

μ t . y t = ∫ μ t . r t d x + C

e - t y = ∫ e - t . 2 t e 2 t + C

e - t . y = 2 ∫ t e t + C

Precisamos resolver a integral

∫ t e t d t

Usando por partes com u = t ,   d u = d t e d v = e t d t ,   v = e t , aí

∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ t e t d t = t e t - ∫ e t d t = t   e t - e t

Tudo bem?

aí nossa solução fica

e - t . y = 2 e t t - 1 + C

Belezinha?

Passo 3

Agora precisamos aplicar a condição de contorno

y 0 = 1

e 0 . 1 = 2 e 0 0 - 1 + C

1 = 2 + C

C = - 1

Aí vamos retomar nossa solução e isolar y

e - t . y = 2 e t t - 1 + C

e - t . y = 2 e t t - 1 - 1

y = 2 e t t - 1 e - t - 1 e - t

y = 2 e 2 t t - 1 - e t

E é isso! Espero ter ajudado!

Resposta

y = 2 e 2 t t - 1 - e t

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