UFSC, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de EDO - Lista 2, Questão 2c.
2) Uma colônia de bactérias obedece a “lei natural da evolução” (Lei de Malthus), isto é, a taxa de crescimento populacional é proporcional à população. Observou-se que há atrás havia bactérias, e que agora há cerca de .
c) Daqui a quanto tempo a população atingirá bactérias?
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Nosso objetivo nesse problema é obter o instante de tempo em que o número de bactérias em uma colônia seja de .
Tranquilo? 👀
No item anterior, vemos que a equação que modela o crescimento exponencial de uma população de bactérias seguindo a Lei de Malthus é dada por:
Onde é a população inicial de bactérias, é a taxa de crescimento da população e é o tempo decorrido desde o início da observação em horas
Conseguimos determinar que à partir da taxa de crescimento inicial de na primeira hora.
Tudo certo? 😉
Passo 2
No final de tudo, chegamos em uma conclusão de que a função é dada por
Vamos chamar de o instante que o número de bactérias seja igual a , ou seja,
Substituindo essas informações na equação
Isolando em um lado...
Se fizermos dos dois lados, podemos simplificar no lado esquerdo
Isolando
Passando esse instante para horas, temos que se diz respeito a , então será
Ou seja, no instante , a população de bactérias é .
Esse tempo é após o instante que estamos usando como referência (em )
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
