Considere uma equação diferencial da forma

dy/dx = f(y/x)

a) Faça a mudança de variáveis v = y / x afim de obter a equação separável:

d v / d x = (f(x) - v) / x

Passo 1

Olá pessoal, como vocês estão?

Nessa questão recebemos uma equação diferencial da forma:

d y d x = f y x

As EDOs desse tipo são chamadas de EDO TIPO homogênea. Para resolvê-la a ideia é chamar:

v = y x

E realizar a mudança de variáveis. Assim, caímos em uma equação separável.

É isso que o problema nos pede pra fazer: encontrar a equação separável associada.

Vem com a gente do Responde Aí que vai dar tudo certo 😊

Passo 2

Temos:

d y d x = f y x

Fazendo:

v = y x

Temos:

y = v ⋅ x

Daí, derivando com relação a x , temos:

d y d x = v ⋅ d x d x + x ⋅ d v d x

= v + x ⋅ d v d x

Substituindo na nossa equação diferencial, vem que:

v + x ⋅ d v d x = f v

Manipulando matematicamente a expressão, vem:

x ⋅ d v d x = f v - v

∴ d v d x = f v - v x

Prontinho! Essa é a equação separável que o enunciado nos pediu para alcançar.

É isso então!

Valeeeeu 😊

Resposta

Resposta no texto.

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