Considere uma equação diferencial da forma

dy/dx = f(y/x)

b) Utilize esta mudança de variáveis para resolver a equação diferencial

dy/dx = (y - x) / (y + x)

Passo 1

Fala aí galera, tudo numa boa?

Nessa questão precisamos resolver a EDO:

d y d x = y - x y + x

Mas, para fazer isso o enunciado nos pede para usar a substituição de variável:

v = y x

Para assim cair em uma equação separável.

Depois de cairmos na equação separável basta integrarmos em ambos os lados, e depois é só voltar de v para y .

Vem comigo 😉

Passo 2

Temos:

v = y x

∴ y = v x

Daí, derivando:

d y d x = v + x ⋅ d v d x

Substituindo na nossa EDO, temos:

v + x ⋅ d v d x = v x - x v x + x

Colocando x em evidência do lado direito, temos:

v + x ⋅ d v d x = v - 1 v + 1

∴ x ⋅ d v d x = v - 1 v + 1 - v

=   - v 2 + 1 v + 1

Daí, separando a equação:

- v + 1 v 2 + 1 d v = 1 x d x

Excelente!

Passo 3

Para resolver a EDO basta apenas integrarmos em ambos os lados:

∫ - v + 1 v 2 + 1 d v = ∫ 1 x d x

= ln ⁡ x + C

Já a integral do lado esquerdo é um pouquinho mais complicada. Vamos com mais calma nela:

∫ - v + 1 v 2 + 1 d v = - ∫ v v 2 + 1 d v - ∫ 1 v 2 + 1 d v

Sobre a primeira integral, podemos fazer uma substituição de variável chamando:

u = v 2 + 1

∴ d u = 2 v d v

v d v = d u 2

Logo:

∫ v v 2 + 1 d v = 1 2 ⋅ ∫ 1 u d u

= 1 2 ⋅ ln ⁡ u

= 1 2 ⋅ l n ⁡ | v 2 + 1 |

Massa! Já na segunda integral, temos:

∫ 1 v 2 + 1 d v = arctan ⁡ v

Assim:

∫ - v + 1 v 2 + 1 d v = 1 2 ⋅ ln ⁡ v 2 + 1 + arctan ⁡ v + D

Voltando a equação separável e suprimindo uma das constantes, temos:

1 2 ⋅ ln ⁡ v 2 + 1 + arctan ⁡ v = ln ⁡ x + C

Agora é só sair de v e voltar pra y e x :

1 2 ⋅ ln ⁡ y 2 + x 2 x 2 + arctan ⁡ y x = ln ⁡ x + C

Prontinho gente! Com isso definimos y implicitamente em função de x .

Muito obrigado pela atenção 😊

Resposta

1 2 ⋅ ln ⁡ y 2 + x 2 x 2 + arctan ⁡ y x = ln ⁡ x + C

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