UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais A, Listas de EDA - Profª Alejandra Russi - Lista 2 - Equações lineares, Bernoulli e separáveis, Questão 7b
Considere uma equação diferencial da forma
Utilize esta mudança de variáveis para resolver a equação diferencial
Passo 1
Fala aí galera, tudo numa boa?
Nessa questão precisamos resolver a EDO:
Mas, para fazer isso o enunciado nos pede para usar a substituição de variável:
Para assim cair em uma equação separável.
Depois de cairmos na equação separável basta integrarmos em ambos os lados, e depois é só voltar de para .
Vem comigo 😉
Passo 2
Temos:
Daí, derivando:
Substituindo na nossa EDO, temos:
Colocando em evidência do lado direito, temos:
Daí, separando a equação:
Excelente!
Passo 3
Para resolver a EDO basta apenas integrarmos em ambos os lados:
Já a integral do lado esquerdo é um pouquinho mais complicada. Vamos com mais calma nela:
Sobre a primeira integral, podemos fazer uma substituição de variável chamando:
Logo:
Massa! Já na segunda integral, temos:
Assim:
Voltando a equação separável e suprimindo uma das constantes, temos:
Agora é só sair de e voltar pra e :
Prontinho gente! Com isso definimos implicitamente em função de .
Muito obrigado pela atenção 😊