Considere o problema de valor inicial:

y ' = t y 4 - y 3 y 0 = y 0

b )   Qual o intervalo de definição da solução se y 0 < 0 ? Podemos esperar algum comportamento assintótico da solução neste caso?

Passo 1

Fala aí galera, tudo na paz?

Nessa questão recebemos o PVI dado por:

y ' = t y 4 - y 3 y 0 = y 0

E precisamos determinar o intervalo de definição da solução se y 0 < 0 .

No item anterior resolvemos o PVI em função de y 0 (usando as equações separáveis) e encontramos que:

y = 4 1 + k ⋅ e - 2 t 2 3

onde:

k = 4 y 0 - 1

Massa! Então, vamos analisar o que acontece com a nossa solução quando temos y 0 < 0 .

Vem com a gente!

Passo 2

Vamos dar uma olhada na nossa expressão para k :

k = 4 y 0 - 1

Se y 0 < 0 , o primeiro termo é negativo. Logo, temos que:

k < 0

Vamos agora voltar para a solução que encontramos em y :

y = 4 1 + k ⋅ 1 e 2 t 2 3

k é negativo, então o termo em y é negativo se:

1 + k ⋅ 1 e 2 t 2 3 < 0

Mas, o que acontece é que quanto mais t cresce, mais o termo:

k ⋅ 1 e 2 t 2 3 → 0

De modo que, quando t → ± ∞ , teremos k = 0 . Isso nos dará uma assíntota no nosso gráfico se aproximando de:

y = 4

Além disso, quanto ao intervalo de definição, ele não pode conter o único ponto que é restrição do nosso problema:

y = 0

Como y 0 < 0 a solução que encontramos nunca se anula. Logo, ela é válida para quaisquer valores de t ∈ R .

E é isso gente! Conseguiram entender a ideia?

Até a próxima 😊

Resposta

Resposta no texto.

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