UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais A, Listas de EDA - Profª Alejandra Russi - Lista 2 - Equações lineares, Bernoulli e separáveis, Questão 6b
Considere o problema de valor inicial:
Qual o intervalo de definição da solução se Podemos esperar algum comportamento assintótico da solução neste caso?
Passo 1
Fala aí galera, tudo na paz?
Nessa questão recebemos o PVI dado por:
E precisamos determinar o intervalo de definição da solução se .
No item anterior resolvemos o PVI em função de (usando as equações separáveis) e encontramos que:
onde:
Massa! Então, vamos analisar o que acontece com a nossa solução quando temos .
Vem com a gente!
Passo 2
Vamos dar uma olhada na nossa expressão para :
Se , o primeiro termo é negativo. Logo, temos que:
Vamos agora voltar para a solução que encontramos em :
é negativo, então o termo em é negativo se:
Mas, o que acontece é que quanto mais cresce, mais o termo:
De modo que, quando , teremos . Isso nos dará uma assíntota no nosso gráfico se aproximando de:
Além disso, quanto ao intervalo de definição, ele não pode conter o único ponto que é restrição do nosso problema:
Como a solução que encontramos nunca se anula. Logo, ela é válida para quaisquer valores de .
E é isso gente! Conseguiram entender a ideia?
Até a próxima 😊
Resposta
Resposta no texto.