UTFPR– Equações Diferenciais – AVA1 – Lista 4 – Questão 4
- Construa uma equação diferencial linear de primeira ordem da forma para qual e . Dê um intervalo sobre o qual é a solução geral da EDO
- Defina uma condição inicial para a EDO encontrada na parte (a) tal que a solução do PVI seja . Redefina a condição inicial se a solução é . Dê um intervalo I de definição de cada uma dessas soluções. Existe um problema de valor inicial cuja solução está definida sobre ?
- Cada PVI encontrado na parte (b) é único? Isto é, pode existir mais do que um PVI para o qual, digamos, , em algum intervalo I, é solução?
Passo 1
Oi, tudo bem por aí? Essa questão parece ser complicada, mas relaxa, vou fazer passo a passo com você! Bora lá? O problema deu essa equação diferencial aqui
E nos disse que as soluções (da parte homogênea e particular) são (respectivamente):
E na primeira pede um intervalo de definição. Mas você sabe como encontrar ele?
Achar um intervalo de definição para a solução de uma equação diferencial significa encontrar um conjunto de valores de em que essa solução “não é falha”. Ou seja, não apresenta uma indeterminação, uma divisão por zero, uma raiz de índice par de número negativo... essas coisas
O problema também fala em ser solução. Você sabe como identificar que uma função é solução? É quanto ela satisfaz a equação diferencial! Basta derivar e substituir na EDO e verificar a igualdade! Mas será que essa solução é única?
Temos um teorema para verificar isso! Se tivermos uma equação diferencial do tipo
Se tanto quanto forem contínuas em um intervalo próximo do ponto inicial , garantimos que existe solução que satisfaça a equação e ela é única!
Agora que você já relembrou todos esses conceitos, partiu resolver o problema?
Relaxa, vou fazer passo a passo com você! Vamos começar?
Passo 2
Letra (a): Construa uma equação diferencial linear de primeira ordem da forma para qual e . Dê um intervalo sobre o qual é a solução geral da EDO
Nossa equação diferencial deve ser do tipo
E sabemos que para a solução da homogênea associada (com ) temos a solução
E para a particular
Então a ideia é descobrir quem é a partir da solução da homogênea, e com isso achar a a partir da solução da equação particular
A EDO homogênea associada é
E sua solução
Derivando a solução temos
Agora é só substituir na equação para achar :
Beleza? Agora nossa EDO ficou pouco mais conhecida
Agora vamos usar a solução da particular para achar :
Substituindo temos
Assim nossa EDO linda
e o intervalo de definição da solução?
Ela só “falha” em , então o intervalo pode ser
Certo?
Passo 3
Letra (b): Defina uma condição inicial para a EDO encontrada na parte (a) tal que a solução do PVI seja . Redefina a condição inicial se a solução é . Dê um intervalo I de definição de cada uma dessas soluções. Existe um problema de valor inicial cuja solução está definida sobre ?
Agora queremos que nossa solução geral
Seja definida de tal forma que a solução seja
Em outras palavras: para qual valor de e que nossa constante ?
Isso acontece quando e
Então para que tenhamos a solução da equação diferencial
Igual a precisamos que a condição inicial seja . E esse ponto está no intervalo de definição da solução! O que não podemos ter é , qualquer outro valor é válido!
Também seja solução!
Se fizermos e vamos ter :
Assim temos o ponto
Deixo aqui como exercício para você verificar que essas duas soluções são de fato soluções para nossa equação diferencial do item (a).
Por fim o problema pergunta se existe PVI cuja solução está definida em . E a resposta é não: para essa solução
Não temos definição em ! Beleza?
Passo 4
Letra (c): Cada PVI encontrado na parte (b) é único? Isto é, pode existir mais do que um PVI para o qual, digamos, , em algum intervalo I, é solução?
Para responder esse último item precisamos relembrar da condição para unicidade da solução:
Dada uma equação do tipo:
Se tanto quanto forem contínuas em um intervalo próximo do ponto inicial , garantimos que existe solução que satisfaça a equação e ela é única!
Nossa equação diferencial é
Isolando temos
Temos que é contínua em todos os , menos em . E a derivada parcial em
Também! Assim, como não faz parte do intervalo de definição da solução, então em qualquer uma das soluções que encontramos, a solução é única!
E é isso! Terminamos! Vamos treinar mais?