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Exercícios Resolvidos de EDO Linear de 1ª Ordem

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Enunciado

1) A corrente I t em um circuito elétrico com indutância L e resistência R é dada pela equação

L d I d t + R ∙ I = E t

Onde E t é a tensão aplicada. Suponha que L ≠ 0 e R são constantes (arbitrárias; não especifique), I 0 = 0 e que E t seja dada por E t = e - R L t E 0 sin ⁡ ω t , sendo E 0 e ω ≠ 0 também constantes (arbitrárias; não especifique). Encontre I t .

Passo 1

Acho que a primeira coisa a se fazer aqui é melhorar a cara dessa EDO, não é verdade? Para isso vamos a deixar como estamos acostumados: sem nada multiplicando a derivada!

L d I d t + R ∙ I = E t   →

d I d t + R L ∙ I = E t L

A única coisa que fiz foi dividir os dois lados da equação por L . O legal de fazer isso, é que agora, lembrando como é a cara de uma EDO de primeira ordem no geral...

d I d t + A t ∙ I = B t

Onde no nosso caso...

A t = R L  

  B t = E t L = e - R L t E 0 sin ⁡ ω t L

Percebemos que podemos resolvê-la por fator integrante F t !

I t = 1 F t ∫     F t B t d t + C

Onde…

F t = e ∫ A t d t    

Passo 2

Calculando então o fator integrante simplesmente substituindo e resolvendo a integral...

F t = e ∫ R L d t

Bem, R / L é uma constante, então...

F t = e R L t

Logo a nossa resposta será...

I t = 1 F t ∫     F t B t d t + C   →

I t = 1 e R L t ∫     e R L t e - R L t E 0 sin ⁡ ω t L d t + C  

Bora resolver isso?!

Passo 3

Primeiro podemos multiplicar esse e R L t por e - R L t , e multiplicar potência de mesma base é repetir a base e... ISSO! Somar os expoentes :

I t = 1 e R L t ∫     e R L t - R L t E 0 sin ⁡ ω t L d t + C   →

I t = 1 e R L t ∫     E 0 sin ⁡ ω t L d t + C   →

Show! E 0 / L é constante...

I t = 1 e R L t E 0 L ∫     sin ⁡ ω t d t + C   →

Qual é a integral do seno? O cosseno, neh! Só não se esqueça de dividir por ômega para caso você queira derivar e recuperar exatamente sin ⁡ ω t :

I t = 1 e R L t E 0 L - cos ⁡ ω t ω + C   →

I t = e - R L t - E 0 cos ⁡ ω t L ω + C   →

I t = - E 0 e - R L t cos ⁡ ω t L ω + C e - R L t

Quase pronto! Só falta descobrir a corrente que satisfaz a condição inicial de I 0 = 0 ! Bora?

Passo 4

Substituindo então...

I 0 = 0

I 0 = - E 0 e 0 cos ⁡ 0 L ω + C e 0 = 0   →

Simplificando lembrando de que e 0 = 1 e também é o cosseno ( cos ⁡ 0 = 1 ):

- E 0 L ω + C = 0   →

C = E 0 L ω

Logo, a corrente que satisfaz a condição inicial pedida é:

I t = - E 0 e - R L t cos ⁡ ω t L ω + E 0 L ω e - R L t

Resposta

I t = - E 0 e - R L t cos ⁡ ω t L ω + E 0 L ω e - R L t

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